22 G. OLTRAMARE. — MÉMOIRE 



Cela posé, si nous faisons dans l'identité (i) x = a et a; = 2a nous aurons, en vertu 

 des relations (2) et (3) 



A (cos a-i) — B sin a = cos na — l 



A (cos 2a -i) — B sin 2a = cos (« + i) a + cos «a — cos a— i 



Résolvant ces deux équations on trouve, 



/cos lia . 1 sin na ., 



Jl = i + cos a 4- cos 2« -I- ... + cos {ii - i)a = , — -^-^— + g tant. la '*) 



/ cos «0 sin «a ,_, 



£ = sin a + sin S« + .. + sni {n-ia = ^t ,^ - j,a ,- ^ (a) 



En supposant dans l'identité (4) successivement a = 5« et » =^ 5«, on en déduit 



les deux formules 



^, ,, / C05 3na . 1 sin ?»a 

 i + cos 2« + cos 4« 4- ... -f cos 2{n-i)a — ^ ^ - + ^ 1^;;^ 



, ^ ,r, ,^ "f COS 9,1(1 , / sin 2na 

 i + cos a + cos 2(1 + + cos {2n - i)a = ^ ^ h ^ ^^—^^ 



Multipliant la première de ces égalités par 2 et retrancliant la seconde, nous trouvons 



i — cos a + cos 2a — cos 5« + • • — cos {2ii -i)a=^-â ^— — , tang ~„a sin 2na (6) 



Il est facile de voir que, lorsqu'on suppose n infini, la valeur donnée par le second 

 membre de cette identité est indéterminée, et, par suite, que la série infinie donnée par 

 le premier membre est divergente. 



On peut cependant remarquer ici que, comme l'expression 



■f cos Siia / ^ - r. 



I 2 2 *^^ ~2 " ^'" ^""' 



a une valeur maximum „ + g , et une valeur minimum „ — â — tt '^ ^^aleur de 



" ' 2 's 



la série 



i — cos a -\- cos 2a — . . — cos (2ii - i)a 



sera toujours comprise entre ces deux valeurs, quel ([ue soit n, et, par suite, la série 



infinie divergente 



i — cos a -\- cos 2a — 



restera également comprise entre ces deux mêmes limites. 



