476 DÉTERMINATION DES ÉLÉMENTS 



19. Pour reconnaître la condition sous laquelle notre équa- 

 tion aura quatre racines réelles, il faut observer que lorsque 

 deux racines imaginaires conjuguées naissent (Lagrange Eq. 

 nuni. note V), deux racines réelles deviennent égales entre elles. 

 Mais lorsqu'une équation a des racines égales, elle a une solu- 

 tion commune avec son coefficient différentiel égalé à o. Par 

 conséquent à la limite des valeurs des constantes de l'éq. (4) 

 qui font naître des racines imaginaires, on doit trouver un 

 commun diviseur réel entre le premier membre de cette équa- 

 tion et son coefficient différentiel, c'est-à-dire une solution 

 commune entre les deux équations. 



,.8_ j.^ fC. j^ 2R3 iii cos 5 r3 — h- R'^ = ; 4 i- ' — 3 1'^ r^ + 3 I h R-' cosfl = 



On peut éviter la recherche assez pénible du plus grand 

 commun diviseur, en remarquant que l'élimination de h entre 

 les deux équations simultanées donne une équation résoluble 

 par les méthodes de second degré, savoir : 



16ri — (9 + 15 sin-/31 1^^ r5 + 9Hsin^/3 = 

 qui donne : 



r-^=^ [3 + 510-5 — 1, 1(9 — 25sin 2/3) cos=5}] 



il: * .,- (, + I sin s + I sin -2/3) ± I 'i 1 - | sin /3 + | sin ■' B] [ 



d'où en prenant les racines et décomposant les radicaux en 

 facteurs : 



^ \ \y [\ + sin.e) (I + ^ sin /3i + i (1 - sin /3) (1 -| sin/3) \ 



