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Il faut démontrer que, k étant un nombre quelconque, 

 fractionnaire ou irrationnel, on a aussi : 



(2) X : kx =/(x) : f(hx). 

 Il résulte de la proportion (1) que 



(3) ■f(nx)^nf(x). 



Cette égalité est vraie quel que soit x; nous pouvons 

 donc y représenter x par x', x' étant une seconde valeur 

 de notre variable, nous avons ainsi, en intervertissant les 

 membres de notre égalité : 



nfCx')=fCnx'). 



Faisons x = , substituons celte valeur dans cette 



n 



dernière égalité et divisons les deux membres par n. 11 



vient : 



(4) ^("f) = "T^^"-^- 



D'un autre côté, p étant un nombre entier, nous avons, 

 par l'hypothèse sur laquelle est fondée l'égalité (3), 

 fCpxJ = pf(x")i 



Substituons à x' sa valeur , il vient : 



et à cause de (4), 



Cette dernière égalité fait voir que la proportion (2) est 

 vraie lorsque k est égal à une fraction rationnelle quel- 



p 

 conque -î— . 

 n 



