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La proportion (2) étant ainsi vérifiée, nous en déduisons 

 cette suite de rapports égaux : 



-:/(_) = —:/(—) = — :/( — ) = 



Ç=/(v> 



Cette suite nous fait voir que la fonction croit en même 

 temps que la variable, toutes les fois que les accroisse- 

 ments de la variable sont rationnels. Mais si nous faisons 

 n plus grand qu'aucune quantité assignable, la variable 

 croîtra par degrés insensibles et nous conclurons de la pro- 

 portion, qui subsiste encore, que la fonction croit toujours 

 avec la variable et décroît avec elle. Ou, en d'autres termes, 

 que, dans tous les cas, à une plus grande variable corres- 

 pond une plus grande fonction et réciproquement. 



Supposons maintenant que, dans la proportion (2), k 

 exprime un nombre irrationnel quelconque; il s'agit de 

 faire voir que 



(5) /rkxj=k/cxj. 



Si celte dernière égalité n'est pas vraie, nous pourrons 

 poser par hypothèse, t étant une quantité positive ou né- 

 gative égale à l'erreur à corriger : 



(6) /(kx) = k/CxJ+t. 



Supposons t positif. Réduisons A~ en fraction continue et 



calculons une réduite-^, telle que l'on ait-^ > k, et 

 t n n 



— ^ < "7 } ^^ ^^^ ^^^ toujours possible, comme 



n j (x) 



on le sait par la théorie des fractions continues. Nous avons 



ainsi : 



