170 INTÉRÊTS COMPOSÉS INFINITÉSIMAUX. 



tendre les différents résultats à mesure qu'on diviserait l'année en 

 périodes de temps de plus en plus courtes. 



Ces considérations préliminaires étant posées, il est naturel main- 

 tenant que nous nous proposions de résoudre les fjuestions sui- 

 vantes. 



Problème I. 



Que deviendrait le taux annuel d'une somme placée à intérêts 

 composés, en supposant que les règlements de compte se fissent à des 

 époques infiniment rapprochées les unes des autres, c'est-à-dire que 

 la capitalisation des intérêts fût incessante et continue. 



Cette question a un rapport intime de similitude avec beaucoup 

 d'autres questions que nous présente la nature. L'accroissement que 

 nous voulons déterminer peut en effet très-bien être comparé à un 

 mouvement uniformément accéléré comme à celui d'un corps tombant 

 dans le vide, par exemple; le taux représenterait dans ce cas la force 

 constante ou la pesanteur. Nous allons essayer de résoudre cette 

 question au moyen de considérations élémentaires et sans avoir re- 

 cours à l'intégration. 



Pour cela représentons par r la fraction -7^, c'est-à-dire la 



centième partie du taux, ou l'intérêt simple de un franc pendant un 

 an; de plus, désignons par m le nombre de règlements de compte 

 faits pendant l'année. L'intérêt de un franc pendant chacune des 



périodes de temps sera de — ; de sorte que la valeur de un franc 



avec ses intérêts capitalisés m fois pendant l'année s'exprimera par 



(i -(- — ) ™. En développant cette expression suivant la formule 



du binôme nous aurons la série suivante : 



m r m (m — 1) r^ m (m — 1) (m — 2) r^ 

 * "• V~^^T. 2. m^ ^ Ï7~J. 3: m^ + ^^• 



qui peut se mettre sous cette forme : 



1 _l_ JL _]_ ^ "^^ I ^ '" ^ ^ "^ •^ + etc. 

 ^ 1 ^ 1. 2 ^ 1. 2. 3 



Or, si les règlements de compte sont infiniment rapprochés les 



uns des autres, m devient infini et les fractions —, -^^ , etc., 



tendent toutes vers zéro; de sorte qu'à la limite, la série ci-dessus se 

 change en celle-ci : 



