INTÉRÊTS COMPOSÉS INFINITÉSIMAUX. 171 



En retranchant le capital un franc et en multipliant par 100 on 

 aura le taux effectif demandé : 



^- 100[r+-i;l + -^^ + -^^+ etc. ] 



Comme r est toujours une fraction assez petite, cette série est 

 très-convergente; ainsi, il suffit de prendre les quatre premiers ter- 

 mes pour avoir au moins six figures exactes à la partie décimale 

 lorsque le taux ne dépasse pas le 6 "/o- En calculant les dix premiers 

 termes on trouve : 



Pour le 3 7„, t, = 3,0454o33953ol685o6124:.. 

 » 4 7,,, f, = 4,0810774192388226757... 

 . 5 7„, t, = 5,1271096376024039697... 

 . 6 7„, f, = 6,183654654o3o962222... 

 Nous supprimons les chiffres qui ne sont pas exacts. 



La série [A] étant la même que celle qui donne le développement 

 d'un nombre en fonction de son logaritlime népérien, nous pouvons 

 la représenter par e'' (e désignant la base du système népérien). Il 

 est facile, au reste, de s'assurer directement que si e représente la 



11 1 



valeur de la série numérique 1 -|- -j- + -7-3- -f- ^ -f- etc. 



on aura 11 -| j = e»", lorsque m devient infini. En effet, si l'on 



/ r\^ ( 1 V"'' 

 développe les deux expressions 1 -\ 1 et i -) , on trouve 



2 séries identiques, donc 1 -( =1H =i iH 1 1 = 



[ ' mj \ ' mj [\ ' m) \ 



r 1 1 1 1' 



= 1 +-j — [-T~3'~t~ i 9 Q ~^ ^^^- I = ^''^ nous aurons par con- 

 séquent t^ = 100 (e'' — 1), ou i\ = e"" — 1. 



Nous pouvons maintenant résoudre le problème inverse, c'est-à- 

 dire déterminer le taux (r) annuel infinitésimal connaissant le taux 

 (r,) annuel ordinaire '. L'équation /■, =: e'' — 1 nous donne 

 e'" = 1 -|- i',', en prenant les logarithmes des deux membres (dans 

 un sytème quelconque) nous avons : r log. e =: log. (1 -\~r^), d'où 



locT.(l-)-r,) 

 r = — 5_J^ — ! — L^. Si nous faisons usage des logarithmes hyperbo- 

 log. e s s jf 



liques ou népériens nous aurons : r = log. hyp. (1 -j- r,). 



* Nous désignerons par )\ le taux annuel ordinaire , chaque fois qu'il 

 sera question en même temps du taux infinitésimal correspondant , a\ec 

 tcqueî il est lié par la relation r, =e'' — 1 ; dans tous les autres cas nous 

 le désignerons par e seulement. 



