et 



172 INTÉRÊTS COMPOSÉS INFINITÉSIMAUX. 



A l'aide des deux relations que nous venons d'obtenir, savoir : 

 r, = e — 1 _ X+T2 +170"+ 1. 2. 3. 4 + ^^*'* ' 



r = log. hyp. (1 + rj = T~"^ + ^l "4"^+ ^**'- ' 



il nous sera très-facile de passer du taux infinitésimal au taux ordi- 

 naire , et vice-versâ. 



Problème II. 



Quelle serait au bout de n années la valeur (S) d'un capital 

 C, s'il était placé à intérêts composés infinitésimaux et à raison de 

 r pour un franc l'an? 



Soit toujours m le nombre de règlements de compte faits pendant 

 l'année. La valeur de un franc avec ses intérêts capitalisés sera à la 



/ j. \ mn 



fin de la n""^ année de 1 -) ; mais en faisant m = oo , 



' ,. \mn ( 1 \mrn \ I \ \mlrn 



nous aurons 



et par conséquent 



S = C. em 



Telle est la formule fondamentale des intérêts composés infinitési- 

 maux. Nous aurons plus loin des remarques très-intéressantes à 

 faire sur le résultat que nous venons d'obtenir. 



La quantité e'", trouvée plus haut, nous aurait aussi conduit à la 

 la formule ci-dessus en posant les proportions 1 : e'' :: e'' : x, 

 i : e^ :: X : x', etc. Si nous n'avons pas suivi cette marche, c'est 

 qu'il aurait pu rester dans l'esprit du lecteur quelques doutes sur 

 l'uniformité et la continuité de l'accroissement du capital; car, on pour- 

 rait croire au premier abord que l'accroissement va par sauts puis- 

 qu'on suit la même marche que dans les intérêts composés annuels; 

 mais il faut observer que ce n'est pas la proportion! : l-\-r:: i-{-r:x 

 que l'on emploie, mais bien celle-ci, 1 : l -\-r^ :: i-\-ri : x, c'est- 

 à-dire qu'on se sert, pour établir la continuité de l'accroissement, 

 du taux auxiliaire r, dont nous avons déjà déterminé la valeur. En 

 d'autres termes, placer une somme à intérêts composés infinitésimaux 

 à raison de r pour un franc Van, revient à la placer (pendant le 

 même temps) à intérêts composés ordinaires ou annuels, mais à rai- 

 son de r^ soit «'" — l, pour un franc l'an. C'est sous une autre 

 forme l'énoncé du premier problème. 



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