INTÉRÊTS COMPOSÉS INFINITÉSIMAUX. 175 



Problème III. 



En combien de temps un capital dont on connaît le taux devien- 

 drait-il p fois plus grand par l'accumulation de ses intérêts composés 

 infinitésimaux (p pouvant être entier ou fractionnaire^ mais > !)• 



Remplaçons dans la formule [1] S par ;p. C , et divisons les deux 

 membres par C, nous aurons p = e^^ d'où 



^ _ 'Og- r _ lOg- hyP- p .gj 



r. log. e r 



Comme application soit ;; = 2 , et faisons successivement : 



r = 0,03, nous aurons n = ^\og. hyp. 2 = 23,1049060186048... 



r = 0,04, » n = ^ » 2 = 17,3286795139986... 



r = 0,05, . ^ = ^ " 2 = 13,8629436111989... 



«• = 0,06, . « = ^ " 2 = 11,5524530093324... 



Le calcul, comme on le voit, est des plus simples, puisqu'on n'a 

 qu'un simple déplacement de virgule et une division par 3, par 4, 

 etc., à effectuer. L'opération serait la même pour des taux intermé- 

 diaires. En réduisant en nombres complexes les quatre fractions ci- 

 dessus et en comptant l'année à 365 jours seulement, on trouve 

 qu'une somme quelconque placée à intérêts composés infinitésimaux 

 doublerait de valeur : 



Pour le 37„, en 23 ans, 38 jours, 6 heures, 58 min., 36''204.. 



» 47„, en 17 » 119 . 23 » 13 » 57,153.. 



.. 5%, en 13 » 314 » 23 » 23 » 9,722.. 



» 67„, en 11 » 201 » 15 » 29 » 18,102.. 



Les chiffres ci-dessus nous montrent une chose remarquable , 



c'est que le temps est inversement proportionnel au taux, et cela 



doit avoir lieu non seulement lorsque le capital double de valeur, 



S 

 mais toutes les fois que le rapport -— ou le nombre p est constant , 



ce qu'indique déjà la formule [9] , mais ce que nous allons démon- 

 trer encore comme suit : 



Soient S = C e»'" et S' = C e'''"' les valeurs définitives de deux 



S S' 



placements; nous aurons -TT = e'", et -7^ = e'"'"'; mais de ce que 



L L 



S S' 

 -^r = T^-nous tirons e'" = e""'"' et par conséquent m = r'n', d'où 



n : n' y. r' : r ce que nous voulions démontrer. 



