176 INTÉRÊTS COMPOSÉS INFINITÉSIMAUX. 



Oa peut démontrer de la même manière que cette proportion a 

 lieu dans les intérêts simples lorsque p est constant , ce qui doit 

 d'autant plus étonner que la même chose n'a pas lieu dans les inté- 

 rêts composés annuels. En effet, si Ton calcule combien de temps 

 mettrait une somme pour doubler de valeur, on trouve en faisant 



usage de la formule n = ^—, — r '■ 



log. (1 + r) 



Pour le 3 "/o > 23 ans , 164 jours , 4 heures à peu près. 

 » 6 7„, 11 . 326 . 22 . 



Il est facile de voir que ce dernier résultat dépasse la moitié du 



premier. Nous allons prouver d'ailleurs d'une manière générale que 



tant que les taux seront différents (c'est-à-dire qu'on aura deux 



placements distincts) , la proportion n : n' :: 7-' : r ne pourra jamais 



avoir lieu. 



Soient les deux équations S = C (1 -f- r)^ et S' = C (1 -f- r')"'; 



S S' 

 par suite de l'égalité -^ = -— nous aurons (1 -\- r)" = (1 -{- r'Y' 



ou la proportion n : n' :: log. (1 -f- ^"0 '■ log- (1 -\- ">'); mais pour 

 avoir n : n' :: r' : r [a] , il faudrait qu'on eût aussi la proportion 

 r:r':: log. {i-\~r) : log. (1 -j- r') [h]. Voyons si elle peut exister'. 

 Si nous développons ces deux logarithmes, respectivement en fonc- 

 tion de r et de r' nous aurons : 





w 



ou bien 1 : 1 ::(! — -Il-f-l etc.) : (1 — -^ + '-^ etc.) 



proportion qui ne peut évidemment avoir lieu qu'en tant que r et / 

 sont identiques, il en sera donc de même des proportions [c] et \h\, 

 ainsi que de la proportion [a\; c'est ce que nous voulions démontrer. 



Au reste, les remarques que nous venons de faire résultent de ce 

 que le taux joue exactement le même rôle que le temps , soit dans 

 les formules des intérêts simples , soit dans celles des intérêts com- 

 posés infinitésimaux, tandis qu'il en est tout autrement dans celles 

 des intérêts composés ordinaires, car il faudrait pour que cela eût 

 lieu qu'on put mettre indifféremment r à la place de n et vice-versâ. 



^ Il est facile de voir que cetle proportion ne peut avoir Heu que pour 

 deux taux infiniment petits, ce qui n'est pas le cas ici, puisque r etr' ont 



toujours des valeurs déterminées d'avance. On n'a — = -7^ — '—, r- 



/3 (log. i + 0} 



que lorsque oc et tendent vers zéro. 



