INTÉHÈTS COMPOSÉS INFINITÉSIMAUX. 177 



Problème IV. 



• Une personne emprunte A francs à intérêts composés infinité- 

 simaux à raison de r pour un franc l'un, et s'engage à rembourser 

 cette somme en m versements égaux, effectués à égale distance les uns 

 des autres de manière à éteindre complètement sa dette en n années : 

 quel doit être le montant de chaque versement? 



Les espaces de temps compris entre le moment de l'emprunt et 

 le premier versement , entre le premier versement et le deuxième , 



entre le deuxième et le troisième, etc., seront tous égaux à -î^ ; de 



sorte qu'en désignant par a le montant de chaque versement, nous 

 aurons l'équation suivante : 



(m \ /2c)i\ /Zrn\ f {m — i)rn \ 



a.e -\- a.e -\- a.e -\-...a.e =:Ae™; 



en faisant la somme des termes du premier membre de cette équa- 



a ( e''« 1 \ 



tion nous avons — = A e"' , d'où nous tirons : 



, \ m / 



Dans le cas particulier des annuités comme on a m = jî, la for- 

 mule ci-dessus se chancre en celle-ci : 



s"- 



grn Y gril J L J 



Les problèmes que nous venons de résoudre sont suHisants, 

 croyons-nous, pour donner une idée générale de la théorie des in- 

 térêts composés inflnitésimaux. Nous ferons seulement observer ici 

 que le taux pourrait être fixé relativement à un espace de temps 

 quelconque, pourvu qu'il fût bien déterminé; ainsi, au lieu de pren- 

 dre le taux annuel pour point de départ, on pourrait prendre le 

 taux journalier, la quantité n exprimerait dans ce cas des jours et 

 non pas des années , cela va sans dire. Il ne faut d'ailleurs consi- 

 dérer l'unité de temps relativement à la quantité r que comme un 

 simple rapport indiquant la puissance de l'accroissement et servant 

 par conséquent k déterminer la relation qui doit exister entre un 



