INTÉRÊTS COMPOSÉS INFINITÉSIMAUX. 179 



que , que nous sachions , mérite de fixer pendant quelques instants 

 notre attention : il consiste en ce que la formule S = G (1 -f- r)» 

 des intérêts composés (dans le cas où n est plus petit que l'unité), 

 donne pour la valeur de S, im résultat inférieur à celui que donne 

 la formule des intérêts simples, ce qui, à première vue , a tout à 

 fait l'air d'un paradoxe. 



Supposons par exemple qu'on veuille calculer la valeur (de un 

 franc (ou de toute autre somme) rentrant au bout d'un jour avec son 

 intérêt au 5 % ; on pourrait croire au premier abord que puisque 

 l'intérêt ne peut lui-même porter intérêt qu'au bout d'une année, le 

 résultat doit être le même que celui que donne la méthode des intérêts 



simples, c'est-à-dire qu'on aura 1 -f-|5-X^= 1,0001369... 



et cependant en faisant usage de 



la formule générale on trouve | 1 -}- -^' | 365 _ 1,0001336... 



soit une différence de 0,0000033... 

 Si on fait le calcul pour 12o jours, on trouve : 



dans le premier cas ... . { -\- -^X-g = 1,0171232... 



125 



dans le second cas ( i -j- J_ jses _ 1,0168493... 



c'est-à-dire une différence de 0,0002739... 



dans le même sens que celle ci-dessus, mais beaucoup plus grande. 

 Faisons encore r = 0,05 et » = '/,, soit 182 '/, jours, nous aurons : 

 dans le premier cas ... . 1 -f- ^x-f = i, 0250000 



dans le second cas ( i _^ J_ ] "T ^ 1,0246951 



soit une nouvelle différence de 0, 000.3049 . . 



plus grande encore que les deux premières. Nous aurions de la 

 même manière une différence en prenant tout nombre de jours, in- 

 férieur à 365. 



En effet, soit q ce nombre, nous aurons d'une manière générale : 



par la méthode des intérêts simples . . . . l _}_ ZL , 



365 



7 



et 



composés . (1-^,. J3S5. 0^^ 

 cette dernière expression développée en série donne : 

 1-1 y^ I g (g -365)/-' ?(^-.365)f«-2x365)r» , 

 ^ 365 "T" 1. 2. 365* "*" T T~i:. 363^ + ^^- 



