180 INTÉRÊTS COMPOSÉS INFINITÉSIMAUX. 



c'est-à-dire la première (formée des deux premiers termes), plus 

 une suite infinie de termes; il est donc impossible que les deux 

 méthodes conduisent au même résultat. Il est même facile de voir 

 que la dernière expression doit avoir une valeur inférieure à celle 

 de la première , puisque le troisième terme de son développement 

 est négatif par suite du facteur (^r — 36S). Le taux restant le même, 

 la différence sera d'autant plus grande que q sera plus rapproché de 

 ^^^/g, soit en sus, soit en sous, comme on peut s'en assurer en 

 cherchant quelle valeur il faut donner à q pour rendre maximum la 

 valeur arithmétique àe. q [q — 365)'; de sorte que le plus grand 

 écart qu'on puisse avoir entre les deux résultats aura lieu lorsqu'on 

 aura q rz 182 '/a; il diminuera d'ailleurs à mesure qu'on descendra 

 de 182 '/s à 1, ou qu'on montera de 182 7^ à 364; enfin, si l'on 

 fait g» = 0, ou gr = 365, la différence sera nulle. Il est aussi facile 

 de voir que pour une même valeur de q , plus le taux sera élevé et 

 plus aussi sera grande la différence. Ainsi pour le 6 °l„, l'écart 

 maximum (toujours sur un franc de capital) est de 0,000437, c'est- 

 à-dire de 0,000132 plus grand que pour le 5 "/o- 



Lorsque le nombre de jours surpasse 365 sans être un multiple 

 de ce dernier nombre , une divergence analogue se reproduit en- 

 core , et c'est surtout ici qu'elle mérite d'être remarquée , car si on 

 n'applique pas la formule S = C (1 -|- r)" lorsqu'on a n <; 1 , on 

 l'applique au contraire lorsqu'on a w > 1. 



Cherchons, par exemple, quelle serait au bout de 4 ans 312 jours, 

 la valeur de un franc avec ses intérêts composés à raison de 4 '/a 

 p"" 7o l'^n- On pourrait croire (d'après la définition même des inté- 

 rêts composés annuels) qu'on aura la valeur de un franc avec ses 

 intérêts capitalisés quatre fois, c'est-à-dire (1,045)*, plus l'intérêt 

 simple sur cette dernière valeur pendant les 312 jours restants; on 



aurai. ainsi (1.048). + (i.OiS)' X3<3 XO.OJB ^ ..j^g^g ^ 

 et cependant d'après la formule générale , 



312 



on a seulement (1,045)*"^ = 1,238242... 



soit une différence en moins de 0,000147... 



Ainsi, sur un million de capital, l'écart serait de 147 fr. à peu près. 



_±_ 

 365 



q 

 Soit d'une manière générale n z= v -\- -^â^, nous aurons : 



*■ Nous supposons ici pour simplifier le raisonnement que tous les ter- 

 mes à la suite du 3"', peuvent être négligés; ce qui n'est tout à fait exact 

 que pour un taux infiniment petit. On verra, du reste, à la page 16, que la 

 valeur de q, correspondant au maximum de l'écart, et qui varie d'ailleurs 

 pour chaque taux, s'écarte très-peu de 182 Vj. 



