INTÉRÊTS COMPOSÉS INFINITÉSIMAUX. 181 



danslel"cas(l+r)^+-^4^ = (l + r)''(l+^] [A] 



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dans le 2- cas (l + r)' ^^«^ = (1 + rf i 1 + r^' [B] 



Ces deux expressions ayant un facteur commun, et le second fac- 

 teur de la première étant plus grand que le second facteur de la 

 seconde, nous en concluons sans peine 



(i-^ry (l + ^) >(1 +r)" (1 +r) é 



Toutes les remarques que nous avons faites plus haut relative- 

 ment à ^ et à r, trouvent encore ici leur application; seulement il 

 faut observer que la différence entre les seconds facteurs étant mul- 

 tipliée par le premier facteur (1 -)- i-'y; plus v sera grand, et plus 

 aussi sera grande la différence entre les deux expressions ci-dessus. 



Ainsi en faisant ?; = 20 , r = 0,06 et q =^ 182, nous nous pla- 

 çons dans des conditions très-défavorables, et l'écart que nous obtien- 

 drons entre les deux résultats sera bien plus grand que dans l'exem- 

 ple numérifjue que nous avons déjà donné; en effet nous avons : 



(1,06)- ^1-fi^^^^] = 3,303085..., 



182 



et (1,06)- (1,06) 36^ = 3,301684.. 



soit une différence de 0,001401 à peu près; 



ce qui représente une somme de 1401 francs sur un capital d'un 

 million de francs. Si v était plus grand , nous le répétons , l'écart 

 serait plus grand encore. 



Cette divergence que nous venons de constater se reproduira, il 

 est évident, dans toutes les questions où en faisant usage des inté- 

 rêts composés annuels, le nombre d'années sera fractionnaire. Parmi 

 les exemples nombreux que nous pourrions donner, nous choisirons 

 les deux suivants. 



Vérifions d'abord, en nous servant de l'expression [A], si une 

 somme placée à intérêts composés ordinaires et au 3 % > double 

 réellement de valeur en 23 ans 164 jours '/e ^ P^u près, comme 

 nous l'avons indiqué à la p;ige 8. 



Val'defr. 1 avec ses intér. capit. 23 fois, soit (1,03)-^ = fr. 1,973586 

 Intérêt simple sur fr. 1,973586 pendant 164 jours '/e = » 0,026630 



Total, fr. 2,000216 



Cette différence de -\- 0,000216, nous montre que le temps donné 



log. 2 



par la formule n = -j tt— ; — r- est trop grand. Si nous calcu- 



log. (1 4- r) 



