182 INTÉRÊTS COMPOSÉS INFINITÉSIMAUX. 



Ions combien de temps il faut à fr. 1,973586 pour rapporter 

 (fr. 2 — fr. 1,973586) d'intérêt au 3 "/„ nous trouvons 162 jours ^^ 

 à peu près, soit une différence de 1 jour ^j.. 



Enfin , comme dernier exemple , nous allons montrer que dans la 

 question des amortissements basée sur les intérêts composés annuels 

 une divergence analogue à celles que nous venons de signaler, a 

 lieu, non-seulement lorsque n est fractionnaire, mais chaque fois 

 qu'on sort du système d'amortissement par annuités', ou plutôt cha- 

 que fois que la distance entre deux versements consécutifs n'est pas 

 exprimée par un nombre entier d'années. Prenons pour abréger le 

 problème IV, traité dans la première partie , et changeons seulement 

 la nature du taux; nous aurons l'équation suivante : 



/ n \ /(m — 1) n\ 



aJ^aii-\-ry ^ -{-... a{l-\-ry "" ^=(l-|-r)» [C] 

 qui nous donnera : 



n 



_ A(l + r)»[ (l-f-r)~— l] r£)j 

 "~ (1 + r)n — 1 



et dans le cas particulier des annuités , 



A(14-rf r 

 «- (! + ,)«_! fE] 



Si n était une fraction ou un nombre fractionnaire les formules 



[D] et [E] donneraient l'une et l'autre des résultats divergents sui- 

 vant le point de vue où l'on se placerait relativement aux expressions 

 [A] et [B], le fait est trop évident pour que nous nous y arrêtions. 

 Si au contraire n était un nombre entier, l'application de la formule 



[E] ne donnerait lieu à aucun écart; quant à la formule [D] on ne 

 pourrait l'appliquer sans avoir d'écart que dans le seul cas où m 

 serait un multiple de m : en effet, il est facile de voir en examinant 

 l'équation [CJ que si les différentes puissances de (1 -f- r) étaient 

 fractionnaires, — plus grandes ou plus petites que l'unité, peu im- 

 porte, — les facteurs multipliant a seraient (en se reportant à l'ex- 

 pression [A] discutée plus haut) évidemment trop petits; la quantité 

 a serait par conséquent trop grande , puisque le second membre de 

 l'équation [C] est constant. 



Appuyons ce que nous venons de dire par un exemple particulier. 

 Faisons A = 1000000; ri = 3;m=4,etr = 0,05. La formule 

 [DJ nous donnera après réduction : 



* Est-ce cette circonstance qui empêche les auteurs qui traitent la 

 question des intérêts composés de résoudre d'une manière générale la 

 question des amortissements, comme nous le faisons ici? Nous ne le pen- 

 sons pas, car tous les auteurs que nous avons consultés ne font pas men- 

 tion de cette circonstance. 



