INTÉRÊTS COMPOSÉS INFINITÉSIMAUX. 185 



En multipliant successivement les valeurs maximum de y données 

 ci-dessus, par la 1'% 2"% T' .... n'"' puissance de (1 + r), on 

 aura les valeurs maximum de y, pour la 2""% 3"% .... (n-j- 1)""' 

 branche. En un mot, la courbure de chaque branche (de la même 

 courbe) croîtra proportionnellement aux puissances de (1 -{- r); de 

 sorte (pie pour le (j "/o» P^^" exemple, celle de la l^™" branche sera, 

 à très-peu près, double de celle de la première. Enfin, en donnant 

 k r, À partir ds zéro , des valeurs très-rapprochées , le lieu géomé- 

 trifpie de tous les points culminants des courbes ainsi formées, don- 

 nera pour chaque branche une nouvelle courbe que nous désignons 

 par m. 



Il semblerait jusqu'ici que l'écart dont nous venons de parler dût 

 porter le nom d'erreur plutôt que celui de paradoxe : c'est même 

 ainsi que nous étions tout d'abord porté à le qualifier; mais , après 

 un examen un peu plus approfondi, et surtout grtâce à la méthode 

 des intérêts composés infinitésimaux , qui jette un nouveau jour sur 

 cette question, nous avons changé d'opinion à cet égard. 



Ce qui empêche de comprendre cette différence, très-remarquable 

 d'ailleurs, c'est qu'il est difficile de se représenter ce que doit être 

 une capitalisation fractionnaire. Pour nous en rendre compte, tâchons 

 de relier d'une manière uniforme la capitalisation entière à la capi- 

 talisation fractionnaire , au moyen d'une capitahsation continue. 

 Déterminons pour cela le taux infinitésimal correspondant au taux 

 ordinaire, et mettons-le à la place de ce dernier dans la formule 

 S = C (1 -f- ''i)"; nous aurons (voir la fin du premier problème) 

 S = C {e'')" = C. e''" , ou en remettant à la place de ?- sa valeur : 



S = C(^l-\-rf =C. e"- '"-">••'• '^"'••' 



Ainsi, il sera toujours possible, sans que la valeur de S change, 

 de passer de la méthode ordinaire à la méthode infinitésimale, quelle 

 que soit d'ailleurs la valeur de n. 



Afin de mieux fixer les idées, vérifions sur un exemple particulier 

 ce que nous venons de démontrer; faisons C = 10(X), r, = 0,05 

 et M =: 13 '/j. Les deux formules ci-dessus nous donnent : 



S = 1000 (1,05)"2" — 2136,26 



31 3) 



S = 1000. .— '"'■ '-'■ '-'' = 1000. e-^^ '•'''''''"■ = 2136,26 



or, comme ce dernier résultat, fourni par une capitalisation continue, 

 est identi(iue au premier , il est évident que la capitalisation entière 

 des intérêts composés ordinaires se rattache d'une manière uniforme 

 à la capitalisation fractionnaire, ce (jui légitime en quelque sorte 

 cette dernière. Ceci nous explique aussi parfaitement bien la diffé- 

 rence entre les deux expressions [AJ et [Bl; car, dés le moment 

 qu'en plaçant un capital à intérêts composés annuels et au 5 o/^, on 



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