70 



peuvent être considérées comme des polygones , et tout polygone 

 peut être décomposé en triangles. 



» On conçoit maintenant qu'il soit facile de passer au cas plus 

 général où les points ne sont plus dans le même plan et en prenant 

 leurs distances à un plan quelconque. On chercherait le centre de 

 la moyenne dislance pour deux points, pour une droite, pour une 

 portion quelconque de plan, pour un tétraèdre, et l'on arriverait 

 facilement à un polyèdre quelconque. 



PROPRIÉTÉS DU CENTRE DE LA MOYENNE DISTANCE. 



I. L'aire d'une surface de révolution , engendrée par la rotation 

 d'une courbe plane autour d'un axe tracé dans son plan , est égal à 

 la longueur de la génératrice multipliée par la circonférence que 

 décrit son centre de la moyenne distance autour de l'axe de révolu- 

 tion. 



B Supposons que ce théorème soit vrai pour deux courbes quel- 

 conques, A et B (ces lettres représentant aussi leurs longueurs 

 développées), dont les centres de la moyenne distance sont aei b; 

 et démontrons que la somme des surfaces engendrées par les deux 

 courbes sera égale à la somme des longueurs des deux courbes, 

 multipliée par la circonférence décrite par le centre I de la moyenne 

 distance des deux courbes considérées comme ne iorniant qu'un 

 seul système. 



B Soient h, h' et A, les distances des centres a , 6 et I à l'axe. 

 En suivant la règle que nous avons donnée plus haut pour calculer 

 /«, , nous aurons 



A X /* + B X A' , 

 '■= ÂlTë ' donc 



(A + 6) h, = A.A + B.A'. 



» Or, par hypothèse , la surface décrite par A , plus la surface 

 décrite par B, est égale à 2 ît (h . k + h' .V^) égale donc à 

 2 ^ A, (A + B). Ce que l'on voulait démontrer. 



» Partant de là , il est facile de démontrer le théorème général. 

 On fait directement voir qu'il est vrai pour la surface engendrée 

 par une ligne droite; et on l'étend, en s'appuyant sur le théorème 

 précédent, à la surface engendrée par un contour polygonal quel- 

 tonque, et par conséquent à celle engendrée par une courbe. 



II. Le volume engendré par la révolution d'une surface plane 

 quelconque , autour d'un axe mené dans son plan , est égal à la sur- 

 face multipliée par la circonférence décrite par son centre de la 

 moyenne distance. 



