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(- 1)"' Y2„, 1 <^,_j (b) - cp2„,_i (a) 1 v2- 



+2(-0"-^' (i^r S fitr%,.,(x) Cos 2r.('^')dx, (I) 



r=I ^^* 

 WO folgende Abkürzungen besteben : 



b-a = nv, (2) 



und wo endlicb (p^^ {%] den k**" Differenzialquotienten von 

 9j(x) nacb x vorstellt. 



Die Reihe von Gliedern nun, die die Coefficienten 

 V2, Y4. Yft, Ys' . . . . mitführen, nenne ich die ver- 

 allgemeinerte Stirlingiscbe Reihe, die zur Angabe der 

 innerhalb den Klammern auf der ersten und zweiten Zeile 

 rechts vom Gleichheitszeichen befindlichen Summe be- 

 nutzt werden kann, wovon in der gegenwärtigen Mitthei- 

 lung einige Anwendungen vorgeführt werden sollen. 



2. Als erste Anwendung unterziehe ich den Fall , 

 wenn (p[x) irgend eine ganze, positive Potenz von x ist. 

 Wird diese Potenz einmal als gerade der Form 2m und 

 ein andermal als ungerade der Form 2m + 1 angenom- 

 men, wo m ganz und positiv, bei der letztem Annahme 

 auch der Null gleich sein kann; dann bietet die allgemeine 

 Gleichung (I) vollkommen genau die folgenden zwei Er- 

 gebnisse dar: 



rx2'"dx = v2"'+'[l2"' -I- 22"' + 32"' + ... (n-l)2™ + in2'"| 



- 2m Y2 a2'"-i v2 -t- 2m (2m-1) (2m~2) Y4 a2™-3 y^ 



- 2m (2m-1) (2m-2) (2m -3) (2m— 4) Ye a2"'-5 v« 



j: 



-h (-1)"' 2m (2ra~l) (2m— 2) (2m— 3) ... 3. 2 Yg«, av2'", 



'dx = v2'» + 2 I 12'" + l _(_22n' + l -^. 32'» + l -f. 42'n + l 



(n-1)2°'+i-)-ln2'"+' 



