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die obigen zwei allgemcinon llesullalc folgende zwei Theo- 

 reme, belrelTend die Bcrnoullischen Functionen H" (x) 

 und \i' (x) dar: 



i, B"(na) = B"(a) + B"(. + 1) + B" (« + ^) + • ■ 



„-ir. ß''-) = ^'^'^ + "^f • + il) + ß'(' ^ ») "^ ■ ■ 



die ich auf mehr sj'nthetischem Wege in meiner oben 

 citirtcn Schrift ebenfalls bewiesen habe. Dieselben beste- 

 hen ihrer Ableitung nach für alle reellen Werthevona, 

 wie für alle ganzen und positiven Zahlenwerthe von n. 



4. Als dritte Anwendung sei in der allgemeinen 

 Gleichung (I) : 



cp{x) = log. r(x) 

 festgestellt. — Da hei dieser Annahme keiner der Diffe- 

 renzialquolienten den Nullwerlh annimmt, so haben wir 

 uns zunächst mit der Herstellung der Form des m**" Dif- 

 ferentialquotienten von (p (x) nach x zu befassen, um von 

 der am Eingange zu Grunde gelegten Gleichung (1) Nu- 

 tzen zu ziehen. 



Die Function r(x) wird bekanntlich durch das Eu- 

 ler'sche Integral zweiter Art, wie auch durch folgende, 

 ohne Ende forllaufende Factorenfolge deGnirt: 



'^'''^ X (x + J) (x + 2) ....(x + k-l) ' ^'^^ 



wo k eine ohne Ende wachsende, positive und ganze 

 Zahl vorstellt. 



