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§. 7. Erklärungen und Lehrsätze. 



I. Irgend eine Zahl (p + qi) , sei sie reell oder 

 complex , mit einer 2"^" Zahl (« + ßi) derselben Art de- 

 potenziren, heisst alle die Zahlen beslimraen, die mit der 

 gteii poienzirt, VVerthe geben, von welchen einer mit der 

 ersten jener 2 Zahlen coincidirt. Das im Allgemeinen un- 

 endlich vieldeutige Ergebniss dieser Depolenzirung be- 



a + ßi 



zeichne ich mit Tp -+- qi 



II. Lehrsatz. Bezeichnen p und q , a und ß reelle 

 Zahlen, y die unendlich vieldeutige Zahl, die o und jede 

 positive oder negative ganze Zahl zu ihren Werthen hat, 

 ist endlich cp = arg (p -t- qi) und m = Mod. (p + qi), 

 so hat man folgende vollkommene Gleichung: 



a + ßi L_ 



i) »^(P"Hqi) = Cp + qif + ^' 



«Im 4- ß (2y7r + y) - /?lm -h a {2yn -+- cp) 



_ g «2 ^_ |J2 -* «2 + ^2 ' 



d. h. mit Rücksicht auf die 2 ersten Theile dieser Glei- 

 chung: Jede complexe Zahl, deren (« -f /3i)'« Potenz 

 p -h qi zu einem Werthe hat, ist unter den Werthen 



von (p + qi)" "^ P' enthalten , und jeder Werth von 



(p -t- qi)" + '^' ist eine Zahl, deren (« + ß\Y^ Potenz 



(p + qi) zu einem Werthe hat. 



Aus 1) darf man aber nicht schliessen , dass 

 1 



[(P + qi)« + ^i]" + ^' = p H- qi, welche Gleichung 



möglichst unvollkommen wäre. 



Ferner ist auch folgende Gleichung eine vollkommene: 



. « + ßi 1 



2) ^^(p+qi^1" + ^' = (p-hqi)" + ^' 



