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wo nämlich der Uebergang von einem dieser Werthe zum 

 unmittelbar folgenden durch das Increment ca bewerk- 

 stelliget wird. 



Wenn a kleiner als b ist , welches wir durch b — a = -f 

 andeulen, wenn ferner «,, a^, a^, . . . a^ innerhalb a 

 und b fallende Zahlenwerthe von x sind, die, in analoger 

 Weise angedeutet , den Bedingungen : 



«j — a = +, «2 — ^1 = +' «3 — «2 = +' 



• • • «k - «k-1 = +< b - «k = + 



entsprechen und die Grenzen bilden , wo die Function 

 ffx) in Gleichheil (1) aus dem einen Zeichenzustande in 

 den entgegengesetzten übergeht, so lautet der erwähnte 

 Doppelsatz folgendermassen : 



Stellt die Function f(x) in Gleichheit (I) von 

 x = a bis X = «i positive Werthe, von x — «j bis 

 X = «2 negative, von x = «2 bis x — «g positive 

 u. s. w. dar, so hat man : 



( (fix) dx = 

 Ja 



== (_ I)'' Are lang. |(- 1 )'' f (b-to)] - Arctang. [f(a-(-aj)] 



-f 2 I Are tang. [f (a, — ca) ] — Are tang. [f(a2 -|- «)] + ••• 



...(_!)''"* Are lang. [f(«k + (- l)"" (a)]j ; (-2) 



wenn aber das Gegenlheil stattfindet, d. h. wenn 

 f(x) in Gleichheit (1) von x = a bis x = a, nega- 

 tive Werthe, von x = «, bis x = «2 positive, 

 von X = «2 bis x = «3 negative u. s. w. annimmt, 

 so hat man folgende Hes lim mungsgleichun g: 



