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Prof. Raabe, über einen HGlfssatz zur Ausmlt- 

 felung^ der TVerthe bestimmter Integrale. 



(Milgetheilt den t.1, November.) 



In den Comptes rendus vom 16. Oct. I. .1. iheill H. 

 Cauchy in einer Note folgenden Satz mit. 



»Das Integral I eP' f(reP')dr, wo fein Functions- 

 »/ 



»zeichen und 1 die imaginäre Einheit ist, ändert den 



»Werlh nicht, während das Argument p der imaginären 



»Variable z = reP' alle Werthe durchläuft, innerhalb wel- 



»cher die Function f(z] endlich und continuirlich verbleibt; 



»überdiess muss diese Function der Art sein, dass das 



»Produkt zf(z) bei r = wie bei r = m den Nullwerth 



»darbietet.'^ 



Dieser Satz leuchtet unmittelbar ein, wenn statt der 



imaginären eP' eine reelle, positive Constante a gesetzt 



wird. Wenn nämlich das bestimmte Integral 1 f(r)dr 



den Anforderungen einer mathematischen Grösse nach 

 den Nrn. 105 und 106 meiner Integralrechnung ent- 

 spricht, gelangt man beim Uebergange von r in ar auf die 

 Gleichheit : 



JiOO /»CO 



af(ar)dr = 1 f(r)dr, 

 Jo 



wo die positiv gedachte, reelle Grösse a willkürlich ist. 

 Erklärt man aber a als imaginär, der Form eP', d. h. 

 ersetzt in demselben bestimmten Integrale r durch reP', so 

 leuchtet zwar als unterer, nicht aber co als oberer 

 Grenzwerth des umgebildeten besimmten Integrals ein ; — 

 hierin besteht das eigentliche Wesen des obigen Satzes, 

 dessen Begründung und Brauchbarkeit in der Theorie 



