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rallelenpaars , so bezeichnen aibi, aiCi . . . ainj, biCi . . . 



biHi , . . . CiHi Schnittpunkte und a2b2 , a^cg . . . 8202, b2C2 



. . . b2n2 . . . C2n2 ihre complemenlären Schnittpunkte und 



dann muss 



A(aibi, a2Ci, b2C2) = A(a2b2, aiC2, biCi) 

 A(aib2, a2Ci, biC2) = A(a2bi, aiC2, b2Ci) 

 A(l2m2, lin2, miui) = Ä(liiiii, l2ni, m2no) etc. sein. 



Die angeführte Anzahl der Schnittpunkte 2n(n — 1) 

 ist das Maximum für n Parallelpaare. Nimmt diese An- 

 zahl ab, so vermindert sich um so mehr auch die An- 

 zahl der gebildeten Dreiecke. 



Die Anzahl der für das Maximum von Schnittpunk- 

 ten entstehenden Dreiecke ist leicht abzuleiten und soll 

 hier nicht besprochen werden. Dagegen bemerken wir, 

 dass der Beweis für den allgemeinen Satz sich auf den- 

 jenigen für drei Parallelenpaare reducirt , weil je die zwei 

 einander gleichen Dreiecke in den drei gleichen Paaren 

 liegen, dass ferner in diesen drei Paaren die JXachwei- 

 sung der Gleichheit je zweier complementärer Dreiecke, 

 wenn er nur allgemein geführt wird , volle Beweiskraft 

 für die übrigen drei Paare hat. 



Beweis. Die Parallelen mögen von .links nach 

 rechts fortschreitend in der Ordnung aia2htC2CiC2 .... 

 auf einander folgen. Es sei ai die Abscissenaxe und A, 

 B, C . . . die senkrechten Abstände der Parallelen aj und 

 32, hl und b2, C] und C2 . . . ; ferner sei 95 der Winkel 

 von bi und b2 mit ai und a^, t/' der Winkel von Ci und 

 C2 mit ai und 82 und ß und y die Entfernungen der 

 Schnittpunkte ajbi und aiCi vom Anfangspunkt der Coor- 

 dinaten und endlich sollen die Abscissen Xg^bi' ^ail)2' 

 ^a2bi'-- d^n darauf senkrechten Ordinaten Yg^bj, Yg^jj^, 

 Yajbi • • • entsprechen. 



