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Verrichtung, oder auf die höchst einfache Integration von 

 /dx zurück gebracht erhalten , die ich im Vorliegenden 

 mitzutheilen die Ehre habe. 



l. Das von Poisson bebandelte bestimmte Integral: 



J. 







log . (1 + a2 4- 2aCos. x) dx , 

 



wo a2 < 1 ist, sei durch f(a) dargestellt, nämlich man 



setze ; 



log . (1 + a2 4- 2aCos. x) dx. 

 



so hat man, wenn x durch n — x ersetzt wird, auch: 



log . (1 + a2 - 2aCos. x) dx; 

 addirt man diese zwei Gleichungen, so ist: 



2f(a) = j log (1 + a* — 2a2Cos. 2x) dx; 

 ersetzt man hier 2x durch x, so ist auch: 



J»27I 

 log (.1 + a' — 2a2Cos. x) dx. 

 



Zerlegt man dieses bestimmte Integral in eine Summe 



zweier, das eine von x = bis x = ä, und das andere 



von X = TT bis X = 2jr; ersetzt man im letztem x durch 



n + X, so gelangt man zuletzt auf: 



= 2 r log . (1 



4f(a) = 2 I log . (1 + a' -t- 2a2Cos. x) dx 



aus der beachtend die Bestimmungsgleichung von f(a) fol- 

 gende Functionalgleichung gezogen wird: 



f(a) = 1 f(a2). 



Aus dieser findet man nach und nach folgende Gleich- 

 heiten : 



