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wo also dieses neue Symbol eine alternirende Function der vier 

 Grössen a , b , c , d ist ; so ergibt sich , beachtend die unmittelbar vorher 

 gewonnene Bestimmung für A, folgende identische Gleichung : 



[(a,b, c), 'd] X"" = 



= (a, b, c) [a, 'd] — (a , b, d) [a, c'] -|- (a, c, d) [a, 'b] (11) 



Analog mit diesem Ergebnisse gelangt man sehr bald auch auf 

 folgendes : 

 Wenn 



['(a,b,c),d]='(a,b,c)X*'"— '(a,b,d)X*°'+'(a,c,d)X''"— '(b,c,d)X^"(10') 



festgestellt wird, wo also auch das viergliedrige Symbol ['(a, b, c), d] 

 eine alternirende. Function von a , b , c , d ist : so besteht folgende 

 identische Gleichung : 



- ['(a,b,c),d]'x''' = 



= '(a, b, c) [a, 'd] — '(a, b, d) [a, 'c] + '{^, c, d) [a, 'b] , (11') 



welche die angekündigte analoge zu (11) ist. 

 Ersetzen Avir nun in (11) und (11') : 



a durch 1 , b durch 2 , c durch a und d durch b , 

 so erhalten wir : 



(l,2,aj[l,'b]-(l,2,b)[l,'a]+(l,a,b)[l,'2] = [(l,2,a),'b]X*'; 

 '(1, 2, a) [1, 'b] - '(1, 2,b] [1, 'a] + '(1, a, b) [1, '2] = - ['(1, 2, a), b] 'X'*'; 



und weil der Eingangs getroffenen Feststellung zufolge X sowohl 

 wie 'X von Null verschieden sind; — so sind die Bediugungsglei- 

 chungen in (7) durch folgende zu ersetzen : 



[(l,2,a),'b] = o, ['(l,2,a),b] = o, (7') 



welche die hier am Eingänge angekündigten sind und, gleichwie jene 

 in (7), für alle Werthe von a und b, so den Ungleichheiten: 



2<a<b<n-j-l (12) 



genügen , Bestand haben müssen , damit die vorgelegten Differenzial- 

 gleichungen in (A) durch ein System zweier Gleichungen integrirbar 

 seien. 



Betreffond endlich die Anzahl dieser Bediugungsgleichungen , ent- 

 nimmt man sehr leicht aus den Ungleichheiten in (1 2) , weil a und b nur 

 ganze Zahlenwerthe vorstellen, dass solche gleich (n — 2) (n — 3) 

 sei. 



