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Integrationsgrenzen a (die untere) und A (die obere) einen klaren 

 unzweideutigen Sinn hat, und etwa so lautet: „Das bestimmte Integral 

 sei von x = a bis x = A auszudehnen," womit nämlich eine Sum- 

 mation der betreffenden Differcnzialforrael f (x) dx über alle Wcrthe von 

 X = a bis X = A verstanden wird, — wir wissen nicht, sage ich, 

 was mit dieser Phrase anzufangen sei, falls diese Integrationsgrenzen 

 a und A complexe Zahlen sind. Während in dem ersten Falle, wo 

 a und A reell sind, ein Uebergang von dem einen Wertli a zu dem 

 andern A, gleichsam wie von einem Punkte zu einem andern auf 

 derselben Linie erscheint, hört dieser eine vorgezeichnete Weg auf, 

 wenn die Integrationsgrenzen complexer Beschaffenheit sind, welches 

 offenbar darin seinen Grund hat, dass die beiden Bestandtheile einer 

 complexen Zahl, die allerdings durch das algebraische Sumraenzeichen 

 verbunden sind, heterogen zu einander sind, — also von einer Addi- 

 tion oder Subtraction derselben im gewöhnlichen Sinne (wo die ein- 

 zelnen Bestandtheile oder Zahlen in ihre Einheiten gleicher Art aufgelöst 

 und dann zu einer einzigen Zahl zusammen gefasst werden) nicht die 

 Rede sein kann. 



Für gewisse zu erzielende Zwecke sind allerdings vorgeschriebene, 

 immer aber willkürliche Uebergänge von der einen complexen Iiite- 

 grationsgrenze zur andern gestattet , wie solches Cauchy und seine Nach 

 folger gethan. Es bleiben dieselben jedoch der eigentlichen Integral- 

 rechnung (wo es sich nämlich um die Werthung eines bestimmten Inte- 

 grals innerhalb complexer Integrationsgrenzen handelt) der erwähnten 

 Willkürlichkeit wegen so lange fremd, bis nicht deren Zusammenhang 

 mit den elementaren Grundbegriffen eines bestimmten Integrals wissen- 

 schaftlich constatirt sein wird. 



Es erinnert mich ein solches Integral mit complexen Integrations- 

 grenzen an einen analogen, schon in den ersten Elementen der Algebra 

 auftretenden Fall. Nachdem man den elementaren Begriff einer Potenz 

 mit ganzem, positivem Exponenten festgestellt hat, und dann eine 

 Üebertragung dieses Begriffes auf die Fälle verlangt wird, wenn der 

 Exponent negativ oder eine gebrochene Zahl ist. Ohne über die 

 Art, wie diese Fragen erlediget worden sind, mich hier auszusprechen, 

 hebe ich doch den Umstand mit besondcrm Nachdruck hervor, dass 

 die gewonnenen Erledigungen mit dem Grundbegriffe der Potenz samrat 

 ihrem Gegensatze im innigsten Zusammenhange stehen. 



In ähnlicher Weise glaube ich den in der Ueberschrift angedeu- 

 teten Gegenstand erledigt zu haben, wie solches im Folgenden, na- 

 mentlich in Nr. 5 nach vorhergegangener Motivirung in gedrängter 



