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Uebersicht zusammengestellt worden ist. Den Beschluss der vorlie- 

 genden Mittheilung machen einige kleinere Anwendungen, deren End- 

 ergebnisse zwar nicht neu, gleichwohl Beachtung verdienen. 



1. Wenn man durch die Operation des Differenzirens auf die 

 Gleichung : 



d ■ F (x) = f (x) dx (1) 



geführt wird, wo f(x) und F(x) Functionen von x reprasentiren ; 

 wenn ferner a und A reelle Zahlen sind , innerhalb welclier die Func- 

 tion F (x) continuirlich ist, oder, was auf dasselbe hinausläuft, wenn 

 der Differenzialausdruck f(x) dx für jeden innerlialb besagter Grenzen 

 enthaltenen reellen Werth von x unendlich kleinwerdend ist, wobei 

 dx den unendlich kleinwerdenden Unterschied je zweier aufeinander 

 folgenden dieser Zwischenwerthe vorstellt (welchen Ausdruck dx ich 

 sehr oft durch w darstelle): so stellt, wie bekannt, der Ausdruck 

 F (A) — F (a) die Summe aller dieser so eben angedeuteten unendlich 

 kleinwerdenden Werthe von f(x)dx dar. — Beti-efifend das unendlich 

 kleinwerdende Intervall dx oder to kann solches von einem Intervall 

 zum andern , ohne die unerlässliche Eigenthümlichkeit des unendlichen 

 Kleinwerdens abzulegen, variiren oder auch constant bleiben. Meisten- 

 theils tritt jedoch to im letztern Sinne auf. 



In jeder bessern Schrift über Integralrechnung wird man von der 

 Richtigkeit des Vorausgeschickten genügenden Aufschluss erhalten, 

 wenn, wie gesagt, die Zahlen a und A, als die Integrationsgrenzen 



f A 

 des bestimmten Integrals l f(x)dx, reeller Beschaffenheit sind. 

 Ja 



2. Sind die Integrationsgrenzen eines bestimmten Integrals rein 

 imaginär, Zahlen nämlich, denen die imaginäre Einheit i ( = ]/ — l) 

 zu Grunde liegt, die, wenn a und A die Grössen dieser Zahlen sind, 

 durch ai und Ai dargestellt sein werden; so besteht alles im Voraus- 

 geschickten Mitgetheilte ungeschmälert in voller Klarheit und Richtig- 

 keit, mit der einzigen ganz natürlichen Abweichung, dass sämmtliche 

 Zwischenwerthe, wie der unendlich klein werdende Unterschied des 

 einen dieser Zwischenwerthe zu seinem nächstfolgenden derselben Na- 

 tur wie die Integrationsgrenzen selbst, nämlich rein imaginär sind. 

 Der Sinn eines bestimmten Integrals sls Summe findet hier eine eben 

 so einleuchtende Anschauung wie in dem Falle reeller Integrations- 

 grenzen, wie zur Erhärtung dieser Behauptung die folgende Doppel- 

 gleichung augenfällig darthut: 



