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stimmtes Integral innerhalb complcxen Integrationsgrenzen ist, stellt 

 den FundamentalbegrifF eines solchen Integrals dar; und wir werden 

 in der folgenden Nr., unter der Voraussetzung, dass F(x) eine ein- 

 deutige Function auch für complexe Werthe von x repräsentirt, den 

 Zusammenhang desselben mit gewissen Summen, analog denen bei 

 reellen oder rein imaginären Grenzen, in ganz unzweideutiger Weise 

 und frei von jeder Willkür feststellen. 



4, Wenn A, b und B reelle Zahlen sind, so stellt das be- 

 stimmte Integral : 



\ f(x + A)dx, 



nach Nr. 2, die Summe von f(x-|-A)dx über alle rein imaginären 

 Werthe von x = bi bis x :^ Bi ausgedehnt dar, wo der Uebergang 

 von einem dieser Werthe zu seinem nächstfolgenden etwa durch iw' 

 dargestellt sein mag; stellt man alle diese Summanden her, so über- 

 zeugt man sich, dass dasselbe auch durch das bestimmte Integral: 



•A-f Bi 



i f (x) dx 



lA + bi 



erzielt wird, wo der Uebergang von einem Werthe zu seinem nächst- 

 folgenden derselbe unendlich kleinwerdende rein imaginäre Ausdruck 

 iw' ist. Daher besteht folgende Doppelgleichheit : 



I f(x)dx=\ f(x-|-A)dx = F(A+Bi) — F(A-f bi), (4) 



JA-j-bi Jbi 



für sämmtliche reelle Zahlenwerthe von A , b und B. 



Wenn ferner A und b dieselben bis jetzt gedachten reellen Werthe 



sind und denselben noch die reelle Zahl a beigegeben wird, so stellt 



das bestimmte Integral : 



i: 



i 



f(x-}-bi)dx, 



nach Nr. 1 , die Summe von f (x -|- bi) dx über alle reelle Werthe 

 von x = a bis x ::= A ausgedehnt dar, wo der Uebergang von einem 

 dieser Werthe zu seinem nächstfolgenden durch lo angedeutet sein soll ; 

 stellt man auch alle diese Summanden her, so überzeugt man sich, 

 dass dasselbe auch durch das bestimmte Integral : 



'A+bi 



f(x)dx 



'a-|-bi 



erzielt wird, wo der Uebergang von einem Werthe zu seinem nächst- 

 folgenden dasselbe unendlich kleiawerdende und reelle Increment o) 

 ist ; sonach besteht auch folgende Doppelgleichheit : 



i 



