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f ^' f (x) dx = f f (x -|- bi) dx = F ( A + bi) — F (a -}- bi) , (5) 

 J a -}- bi »' a 



gleichfalls für sämmtliche reelle Zahlenwertlie von a, b und A. 



Die Ergebnisse in (4 und 5) bieten durch Addition zunächst 



folgendes dar : 



F(A -|- BI) — F (a + bi) = \ f(x)dx+ \ f (x) dx. (6) 



J a -(- bi J A -|- bi 



Ganz in gleicher Weise, wie wir auf die Doppelgleichheiten in 



(4 und 5) geführt worden sind , gelangt man auch auf folgende : 



P ' f(x)dx= f 'f(x-f a)dx = F(a-}-Bi)— F(a + bi), (4') 

 Ja-|-bi Jbi 



/»A+Bi /»A 



\ f(x)dx = \ f(x-|-Bi)dx = F(A + Bi) — F(a-|-Bi), (5') 



Ja-j-Bi Ja 



die als Gleichheiten für alle reelle Werthe a, b, A, B Bestand haben. 

 Addirt man auch hier, so gelangt man auf folgende coordinirte 

 Gleichheit zu (6) : 



/»a-l-Bi cA-\-Bi 



F(A-{-Bi) — F(a4-bi) = \ f(x)dx+\ f(x)dx, (6') 



Ja-(-bi Ja-)-Bi 



die gleichfalls für alle i-eelle Werthe von a, b, A, B Bestand hat.*) 

 Mit diesen Ergebnissen in (6 und 6') ist die Schlussaussage 

 vorangehender Nr. vollständig realisirt, wobei wir gegenwärtig noch 

 darauf aufmerksam machen, dass je die zwei Bestandtheile rechter 

 band der Gleichheitszeichen in (6 und 6'J an den durch folgende 

 Gleichheit : 



y f(x)dx = P f(x)dx -]-y f(x)dx 

 Ja Ja Ja 



ausgedrückten Satz aus den bestimmten Integralen mit reellen Grenzen 



erinnern , falls a eine innerhalb der reellen Zahlen ß und ß fallende 



reelle Zahl vorstellt. 



5. Fassen wir alles über ein bestimmtes Integral mit complexen 

 Integrationsgrenzen Gewonnene, sammt den unerlässlichen Beschrän- 

 kungen, die von der Discontinuität herrühren, zusammen; so stellt 

 sich Folgendes nunmehr als begründet heraus : 



Wenn man die unbestimmte Integralgleichheit hat : 



f(x)dx = F(x) -j- Const., (I) 



i 



*) Die nöthigen Einscliränkungen im Falle der Discontinuität der unbe- 

 stimmten Integralfunction sind vorderhand unbeachtet gelassen ; ich komme jedoch 

 in der nächstfolgendea Nr. auch auf diese zu sprechen. 



