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MAURICE LÉVY. — LA THÉORIE MATHÉMATIQUE DE L'ÉLECTRICITÉ 



tances (1) et celles de la fondion potentielle on polen- 

 tiel relatif à un point, M. J. Bertrand donne, par 

 des considérations géométriques immédiates, le 

 potentiel d'une surface sphérique homogène, rela- 

 tivement à un point pris dans son intérieur, et il 

 en déduit, aussi sans calcul, le potentiel relatif k 

 un point extérieur à l'aide des points conjugués, 

 c'est-à-dire en regardant la sphère comme le lieu 

 des points dont le rapport des distances à deux 

 points fixes est constant. Il obtient ainsi très faci- 

 lement les théorèmes classiques de Newton. 



Après avoir vérifié que le potentiel ne change 

 pas brusquement quand on traverse la surface, 

 mais qu'il en est autrement de l'attraction, il 

 montre, de suite, que cette double propriété appar- 

 tient au potentiel et à l'attraction d'une surface 

 quelconque. 



De la surface sphérique on passe à la sphère 

 pleine et annulaire. 



Le chapitre est complété par quelques exercices 

 très intéressants, notamment celui de la couche 

 sphérique qui attire les points extérieurs comme 

 si sa masse était concentrée en un point autre que 

 son centre, emprunté à W. Thomson. 



Je me permettrai une observation de détail. 

 M. J. Bertrand prend soin de bien faire ressortir 

 que la méthode qui lui permet de passer du poten- 

 tiel de la surface sphérique relatif à un point inté- 

 rieur, à son potentiel relatif à un point extérieur, 

 est spéciale à cette surface. Mais, en insistant sur ce 

 point, il me semble avoir un peu dépassé sa pensée 

 lorsque (page 8), il dit : m Les deux problèmes 

 « relatifs aux points intérieurs et extérieurs sont, 

 « en général, de difficulté inégale, et celui des 

 « deux qu'on a pu résoudre ne peut servir eu rien 

 « à la solution de l'autre. » 

 « Les surfaces sphériques font exception, etc. » 

 Quand on a trouvé le potentiel d'une surface 

 fermée quelconque relatif aux points intérieurs, 

 par exemple, et, par suite, relativement aux points 

 <le la surface même, le potentiel relatif aux points 

 «xtérieurs est, par cela même, complètement 

 déterminé ainsi qu'il est établi au § 21 de ces 

 leçons. 



Il est doncpossible (je ne dis pas facile) de faire, 

 pour toutes les surfaces, ce que M. J. Bertrand a 

 fait pour la sphère, c'est-à-dire de déduire le 

 potentiel relatif aux points extérieurs de celui 

 relatif aux points intérieurs. 



On ne peut donc pas dire, au moins en principe, 

 que la connaissance de ce dernier ne puisse servir 

 en rien à la solution du premier, ni que la sphère, 

 à ce point de vue, constitue une exception. 



{{) Le polODliel ainsi cntondu csl doue, au 

 l'énergie poUniielk du svstùmo attirant. 



LA FONCTION POTENTIELLE 



3. Ce qui a permis à M. J. Bertrand de présenter, 

 sous une forme très simple, beaucoup de démons- 

 trations, notamment en ce qui touche le potentiel, 

 c'est que toutes les propriétés du potentiel qui se 

 rapportent aux points extérieurs au corps attirant, 

 sont exprimées par des équations linéaires et homo- 

 gènes relativement aux particules qui le compo- 

 sent. 



Il en résulte qu'il suffit de les démontrer pour 

 une seule particule et, alors, elles sont, en général, 

 évidentes. Dans ce cas se trouvent : 



1° L'équation de Laplace ; 



2° Le célèbre théorème de Gauss consistant en 

 ce que la moyenne des valeurs d'un potentiel rela- 

 tivement aux divers points d'une surface sphé- 

 rique, coïncide avec sa valeur au centre de la sur- 

 face, pourvu que celle-ci ne rencontre pas la masse 

 attirante, théorème que M. J. Bertrand montre, 

 du reste, ne pas différer, au fond, du précédent. 



Il est donc certain que tout ce qu'on peut déduire 

 de l'un se déduirait aussi de l'autre, mais avec 

 quelle difi'érence ! Le théorème de Gauss donne, 

 en quelque sorte à vue, les corollaires suivants ; 



a) Le potentiel d'un corps relativement à un point 

 extérieur ne peut avoir ni maximum ni minimum. 



b) Si le potentiel d'un corps est constant relati- 

 vement à tous les points d'une surface fermée qui 

 ne renferme aucune partie du corps, il est constant 

 dans tout l'espace limité par la surface. 



c) Si le potentiel d'un corps contenu tout entier 

 dans une surface fermée est nul relativement à, 

 tous les points de la surface, il l'est relativement à 

 tous les points extérieurs à cette surface. 



d) Si deux corps contenus tout entiers dans une 

 surface fermée ont mêmes potentiels relativement 

 à tous les points de cette surface, ils ont mêmes 

 potentiels relativement à tous les points exté- 

 rieurs à cette surface, et, par suite, mêmes masses. 



e) Si deux corps placés tous deux à l'extérieur 

 d'une surface fermée ont mêmes potentiels relati- 

 vement à tous les points de la surface, ils ont 

 mêmes potentiels relativement à tous les points 

 intérieurs à cette surface. 



/) On pourrait ajouter le théorème de Green tel- 

 lement capital que M. J. Bertrand lui consacre le 

 chapitre suivant, et qui est la suite immédiate des 

 deux précédents. 



Or, le théorème 2°, qui met ainsi en pleine lumière 

 les conséquences que nous venons de résumer, est 

 alisolument évident quand le corps considéré se 

 réduit à un point, et il est même manifeste que. 



