MAURICE LÉVY. — LA THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LÉLECTRICITÉ 



33 



dans ce cas, il ne diffère pas de cette proposition 

 de Newton : que le potentiel d'une surface sphé- 

 rique homogène relativement à un point extérieur 

 est le même que si toute la surface était concentrée 

 en son centre. 



Etant ainsi évident pour un point, il l'est pour 

 un corps composé d'un nombre quelconque de 

 points. 



M. J. Bertrand l'établit un peu différemment à 

 l'aide d'une identité de Gauss, dont il lire souvent 

 parti. 



3° On peut ajouter comme se déduisant simple- 

 ment du cas où la masse attirante se réduit à un 

 point, cet autre théorème de Gauss extrêmement 

 utile aussi, que la somme 



/ 



■571 



des composantes normales des actions exercées 

 sur tous les éléments da d'une surface fermée quel- 

 conque à laquelle on attribuerait la densité uni- 

 forme 1, est nulle si aucune partie du corps ne se 

 trouve à l'intérieur de la surface. 



Ce théorème aussi est équivalent à l'équation 

 de Laplace, dont M. J. Bertrand le déduit par des 

 intégrations partielles que la démonstration directe 

 de Gauss évite, mais qui sont si utiles à connaître 

 que je ne suis pas surpris que l'auteur se soit un 

 instant départi, pour en donner un e.xemple, de 

 son principe d'éviter les intégrales non indispen- 

 sables. 



4. Les énoncés de ces divers théorèmes se modi- 

 fient quand on envisage le potentiel relativement 

 à des points faisant partie du corps attirant. Mais 

 les deux théorèmes de Gauss peuvent toujours se 

 démontrer simplement. 



L'équation de Laplace se transforme en celle de 

 Poisson que M. J. Bertrand établit par le procédé 

 dû à Gauss qui consiste à le vérifier, ce qui est 

 immédiat, pour la sphère homogène. Par là, il se 

 trouve tout démontré pour tout corps homogène, 

 et, par une extension facile, pour les corps quel- 

 conques. 



5. C'est , d'ailleurs , toujours ;\ l'immortel 

 Mémoire de Gauss (1) qu'il convient de revenir en 

 cette importante et délicate matière. C'est d'après 

 lui aussi que M. J. Bertrand établit ce théorème, 

 fondement de l'Electrostatique, comme de plusieurs 

 branches de l'Analyse et de la Physique mathéma- 

 tique : On peut toujours, et d'une seule manière, 

 répartir une masse attirante sur une surface fermée 

 donnée, ou plus généralement sur les surfaces 



{\) Allgomcino Lchrsâtze in bezichung auf die ini vcrkchrlcn 

 Vcrhaltniss des quadrats dcr Entfernung wirkcndon Anzie- 

 iiungs und AbstossiuiKskrafte. 



fermées limitant un espace à connexité multiple, 

 de façon que le potentiel de la masse soit arbitrai 

 rement donné en chaque point de ces surfaces (1). 



III 



SURFACES SA.NS ACTION SUR LKS l'OI.NTS LNTERIElltS 



(5. Ce magnifique théorème paraissait comme 

 un défi jeté aux géomètres. Il leur indiquait qu'un 

 problème est possible; il est capital en électricité 

 et sa solution restait inaccessible sauf dans le cas 

 d'une sphère. 



Le cas où il serait le plus utile d'en connaître la 

 solution, c'est celui où on demanderait de distri- 

 buer la matière sur les surfaces données, de façon 

 que son potentiel reste constant en tous les points 

 de chacune d'elles. 



Poisson, dans son magistral mémoire sur la dis- 

 tribution de l'électricité sur deux sphères, l'arésolu 

 pour deux pareilles surfaces. 



Les travaux de Maclaurin, de Legendre, de Gauss, 

 d'Ivory, etc., sur l'attraction des ellipsoïdes ont 

 permis de le résoudre pour un ellipsoïde. 



Le théorème suivant, dii à Green, en donne une 

 infinité de solutions nouvelles : 



Si, sur une surface de niveau 



V=C 



supposée formée d'une masse attirante quelconque, 

 on répartit une couche de matière, en lui donnant, 

 en chaque point, la densité superficielle : 



_ 1 "SV 



iô) "in 



n étant la normale extérieure, cette couche de 

 matière exerce, sur les points extérieurs à la sur- 

 face, la même action que la partie de la masse 

 attirante placée dans son intérieur et sur les points 

 intérieurs à la surface, une action égale et contraire 

 à celle exercée parla partie de la masse qui lui est 

 extérieure. 



Si donc la masse attirante est tout entière à 

 l'intérieur de la surface, la couche de matière 

 répartie sur celle-ci n'exercera aucune action sur 

 les points qui lui sont intérieurs, son potentiel 



(1) On sait que Dii'ichlet a, depuis, donné de cette projiosi- 

 lion, une autre démonstration basée sur le célèbre théoréuio 

 qui porte son nom. 



Les deux démonstrations supposent l'existence d'un maxi- 

 mum ou d'un minimum, existence au sujet de laquelle les 

 géomètres, dans leurs exigences actuelles do rigueur, ont 

 fait certaines réserves. Mais c'est là une discussion de pure 

 analyse qui n'aurait pas sa place ici. 



