MAURICE LÉVY. — LA THÉORIE MATHÉMATIQUE DE L'ÉLECTRICITÉ 



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M. J. Bertrand fait encore une autre observa- 

 lion : « Les fluides de même nom se repoussent; 

 « on conçoit ilone, dit Coulomb, que le fluide libre 

 « sera transporté à la surface du corps où il sera 

 « retenu par l'air environnant. » 



« Cette raison sommaire, dit M. J. Bertrand, ne 

 « peut suflîre. Les molécules des gaz se repoussent; 

 « on ne les voit pas, pour cela, s'accumuler à la 

 « surface du vase qui les contient. 



« Le transport de l'électricité h la surface est, 

 « en réalité, dans la théorie de Poisson, accepté 

 « comme une vérité d'expérience. » 



Que la raison sommaire donnée par Coulomb ne 

 soit pas probante ; c'est certain; mais la théorie de 

 Poisson ne me semble pas être dans le même cas, 

 puisque c'est l'équation même de Poisson : 



5-V -S^V "5^ 



icop, 



qui montre que si le potentiel V est constant et, 

 par suite, ses dérivées nulles à l'intérieur du con- 

 ducteur, il en est de même de la densité élec- 

 trique p. 



C'est parce que le potentiel des actions entre 

 molécules gazeuses n'obéit pas à une équation 

 comme celle-ci que, malgré leur action répulsive, 

 elles ne se portent pas toutes à la surface de l'en- 

 ceinte qui les renferme. 



Je crois donc que les raisonnements réunis de 

 Coulomb et Poisson sont suffisants, étant admise 

 l'hypothèse des deux fluides. 



Cela n'ôte d'ailleurs rien à l'utilité de l'exercice 

 qui consiste à montrer, comme le fait M. J. Ber- 

 trand, et comme l'a fait Maxwell que, si on admet 

 à titre de fait expérimental, que le fluide se porte 

 à la surface des conducteurs, la loi de Coulomb 

 s'ensuit. 



Du théorème énoncé au commencement de ce 

 paragraphe, il résulte que si un nombre quelcon- 

 que de conducteurs chargés à des potentiels donnés, 

 sont soumis à leurs actions mutuelles et aux actions 

 de masses électriques fixes, la densité de la couche 

 qui se formera à la surface de chacun d'eux devra 

 être telle que son potentiel ait, en chaque point de 

 la surface, une valeur donnée. 



Or, nous avons vu que les couches satisfaisant à 

 ces conditions existent, et que le problème consis- 

 tant à les trouver n'a qu'une solution. Ainsi, des 

 conducteurs mis en leur présence mutuelle et 

 en présence d'isolants électrisés finissent tou- 

 jours par se mettre en équilibre électrique et ils 

 n'admettent qu'un seul état d'équilibre. 



Cela est encore vrai si, au lieu d'être chargés à 

 des potentiels donnés, ils sont chargés de masses 

 électriques données. 



Si les conducteurs ne sont soumis qu'à leurs 



actions mutuelles, le potentiel de chacune des 

 couches qui se forment doit être constant en tous 

 les points de la surface qu'elle recouvre. 



Le théorème de Green permet alors de résoudre 

 le problème dans une infinité de cas. Parmi les 

 exemples qu'en donne M. J. Bertrand, je citerai 

 d'abord celui, dû à Maxwell, d'un corps limité 

 par deux calottes sphériques se coupant à angle 

 droit. 



La couche électrique sur chaque sphère est 

 formée d'une partie constante et d'une partie 

 inversement proportionnelle au cube de la distance 

 à un point fixe. 



Sur la circonférence d'intersection des deux 

 calottes, la densité de la couche est nulle. 



Lorsqu'on a plus d'un conducteur, la difficulté 

 du problème direct de la distribution n'a, en réa- 

 lité, comme nous l'avons dit plus haut, pu être 

 vaincue que dans un seul cas : celui de deux con- 

 ducteurs sphériques, et c'est à Poisson qu'on doit 

 cette belle solution. M. J. Bertrand donne et éta- 

 blit très élégamment les résultats numériques les 

 plus intéressants du mémoire de son illustre 

 devancier. 



9. Dans ce qui précède, on a implicitement sup- 

 posé les conducteurs pleins. 



Le cas où ils sont évidés s'y ramène immédiate- 

 ment comme l'a indiqué, pour la première fois. 

 Faraday par une divination que la théorie mathé- 

 matique confirme. Sous la désignation l'^ 2^,3", 

 V théorème de Faraday, M. J. Bertrand établit des 

 résultats qui peuvent se résumer en ceci : 



1° Si un conducteur chargé d'une masse élec- 

 trique E porte une ou plusieurs cavités dans les- 

 quelles sont placés des isolants fixes chargés en 

 tout d'une masse électrique M, sa surface exté- 

 rieure se recouvre d'une couche électrique iden- 

 tique à celle qui se produirait s'il était plein et 

 chargé de la masse électrique totale E -|- M. 



Son action sur les corps extérieurs est aussi 

 pareille à celle du conducteur plein. 



Sur la surface intérieure se dépose une couche 

 de masse — M équilibrée par l'isolant -f- M. 



2° Les corps extérieurs agissent sur un conduc- 

 teur creux comme s'il était plein. 



Ainsi, supposons deux conducteurs creux por- 

 tant dans leurs cavités respectives des masses élec- 

 triques -f- M et — M. On les réunit par un fil. 

 Qu'arrivera-t-il ? Il arrivera, d'après 1°, que le sys- 

 tème sera neutre. 



Viennent ensuite quelques théorèmes de Maxwell 

 dont le plus important pourrait s'énoncer ainsi: Si 

 l'on a un système de conducteurs chargés de masses 

 électriques données E,,E2,E.|... d'où résulte sur 

 chacun d'eux un potentiel constant V,, V,, V3... 

 l'énergie potentielle W du système est une fonc- 



