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P. APPELL. — LE PROBLÈMb: DES DÉBLAIS ET DES HEMBLAIS 



de roules rectilignes qui réalise le minimum 

 demandé est le meilleur sijxtème de routes. Le mémoire 

 que Monge consaere il cette question est l'un des 

 plus importants (ju'ait publiés le grand géomètre, 

 moins par la solution du problème des déblais et 

 des remblais, que par les théorèmes de géométrie 

 qui y sont établis, e!i passant, comme lemmes et 

 comme propositions incidentes : c'est en effet, dans 

 ce mémoire, que se trouvent développées les pro- 

 priétés, maintenant classiques, des systèmes de 

 rayons rectilignes et des lignes de courbure des 

 surfaces. 



La méthode suivie par Monge consiste à chercher 

 d'abord des conditions nécessaires auxquelles 

 doivent satisfaire les routes. Parmi ces conditions, 

 la suivante se place au premier rang : dans le 

 meilleur système de routes, les lignes droites 

 suivies par deux parcelles quelconques ne doivent 

 jamais se couper, si ce n'est à leur point de départ 

 commun dans le déblai ou à leur point d'aboutis- 

 sement commun dans le remblai; car, si deux 

 routes se croisent entre leurs extrémités, une 

 figure bien simple montre que l'on peut diminuer 

 le prix du transport des deux parcelles du déblai 

 en échangeant leurs points de destination dans le 

 remblai. Il résulte de ce principe que toutes les 

 parcelles du déblai et du remblai, qui se trouvent 

 sur la route suivie par une autre jjarcelle, doivent 

 suivre la même route qu'elle. Donc, sur chaque 

 route du meilleur système, il cheminera en général 

 une infinité de parcelles formant, dans le déblai 

 elle remblai, deux filets infiniment minces équi- 

 valents. Pour préciser ce point d'une importance 

 capitale, considérons deux volumes équivalents, de 

 forme ellipsoïdale, comme ceux que représente la 

 figure ci-contre : les routes devront traverser les 

 deux volumes de part en part, et, si l'on trace celles 

 de ces routes qui s'appuient sur une petite courbe 

 fermée C marquée à la surface du déblai, elles 

 formeront une sorte de tuyau découpant dans le 

 déblai elle remblai des volumes équivalents DD'et 

 RR'. Les parcelles du déblai situées dans ce tuyau 

 en DD' seront transportées, dans sou intérieur, sur 

 les parcelles du remblai en RR'. C'est l'ensemble 

 de toutes les routes de ce genre qu'il s'agit de 

 déterminer de façon à rendre minimum le prix 

 total du transport. 



Après avoir montré que cette détermination est 

 facile dans le cas simple où les deux volumes 

 peuvent être assimilés à des aires planes situées 

 dans un môme plan, Monge fait connaître, pour le 

 cas général, la proposition suivante qui est la base 

 de toute sa théorie ; 



Les roules appartenant au meilleur système doivent 

 être r^ormales à une même surface. 



C'est dans le but d'établir ce théorème que 



Monge étudie les propriétés essentielles des 

 systèmes de droites et donne, pour exprimer que 



des droites se succédant dans l'espace d'une 

 manière continue sont normales à une même 

 surface, une condition géométrique très simple 

 qui conduit immédiatement aux propriétés des 

 lignes de courbure. Mais les raisonnements à 

 l'aide desquels il prouve que les routes du 

 meilleur système doivent être normales à une 

 même surface , sont si peu satisfaisants que 

 le théorème était mis en doute par certains géo- 

 mètres; la démonstration géométrique que Dupin 

 en a donnée plus tard est également sujette à de 

 graves objections. Le théorème de Monge est vrai 

 pourtant : à la suite d'une question posée par 

 l'Académie en 188-i, il a été démontré géométri- 

 quement d'une façon très élégante par M. A de 

 Saint-Germain , et analytiquement par d'autres 

 auteurs, notamment par M. Otto Ohnesorge (1); la 

 démonstration analytique, fondée sur le calcul des 

 variations, permet de montrer que le théorème de 

 Monge est encore vrai , même si la densité est 

 variable dans le déblai et le remblai. 



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D'après ce théorème , voici comment on procé- 

 dera pour obtenir le meilleur système de routes 

 correspondant à un déblai et à un remblai donnés. 

 Un cherchera une portion de surface continue 

 S telle que les normales à cette surface le long de 

 son contour soient tangentes à la fois au déblai et 

 au remblai, et que les normales i\ Tintérieur du 

 contour traversent entièrement le déblai et le 

 remblai en remplissant la condition suivante que 

 nous avons déjà indiquée : si l'on prend une suite 

 continue de ces normales formant un tuyau de 



(1) Le Mémoire ilo M. OlUi Olmcsorge a élé présenté 

 l'Acadéniie, mais n'a jias été ijublic à notre connaissance. 



