p. APPELL. — LE PROBLÈME DES DÉBLAIS ET DES REMBLAIS 



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section très petite , ce tuyau doit détacher, dans le 

 déblai et le remblai, des volumes équivalenls. 

 Toutes ces conditions étant réalisées, ces normales 

 formeront le meilleur système de routes, sauf dans 

 des cas exceptionnels sur lesquels il serait trop 

 long d'insister. Ces cas exceptionnels ne pourront 

 pas se présenter si la surface S est convexe du ciMé 

 du déblai et du remblai. 



Pour déterminer la surface S normale aux routes 

 du meilleur système, il faut intégrer une équation 

 aux dérivées p;irtielles du second ordre déjà donnée 

 par Monge. Dans l'état actuel du calcul intégral, 

 cette équation ne peut être intégrée que dans des 

 cas particuliers, par exemple dans le cas où le 

 déblai et le remblai sont des aires homogènes 

 équivalentes situées dans des plans parallèles ou 

 sur la surface d'une sphère. Mais, même en 

 admettant qu'on ait réussi à intégrer l'équation, 

 on se trouvera, pour la détermination des deux 

 fonctions arbitraires qui figurent dans l'intégrale 

 générale, en face de nouvelles difficultés de la 

 nature de celles qui se présentent dans la théorie 

 des surfaces minima. Le célèbre problème des 

 surfaces minimes consiste à trouver, parmi toutes 

 les surfaces continues passant par une courbe 

 fermée donnée, colle dont l'aire est la plus petite 

 possible. On peut obtenir physiquement cette sur- 

 face en construisant, avec un fil métallique, un 

 contour égal à la courbe donnée et le plongeant 

 dans un liquide légèrement visqueux ; le contour 

 étant ensuite retiré, le liquide forme une lame con- 

 tinue très mince passant par la courbe et repré- 

 sentant approximativement la surface demandée [1 ). 

 Si l'on veut déterminer analytiquement cette sur- 

 face, il se présente des dilficuUés que M. Darboux 

 résume de la manière suivante : « Si l'on considère 

 « toutes les surfaces formant une nappe continue 

 « passant par une courbe fermée, le calcul des 

 « variations apprend que la surface d'aire minimum 

 « aura, en chaque point, ses rayons de courbure 

 « égaux et de signes contraires. L'équation aux 

 « dérivées partielles de cette surface une fois inté- 

 » grée, la condition à laquelle elle est assujettie de 

 M passer par la courbe ne permet pas de déler- 



(1) En 'SS3, M. Schwai-z, professeur à 1 Université de GœL- 

 lingiie, a rcprodiiil ainsi devant l'Académie des Sciences les 

 plus importantes des surfaces minima, en employant un 

 liriuide et des appareils de son invention. 



« miner complètement les deux fonctions arbi- 

 « traires dont elle dépend. Il existe une inlinilé de 

 c( surfaces minima contenant la courbe ; mais ces 

 « surfaces ne satisfont pas toutes, on le sait, à la 

 (I condition, supposée cependant par le calcul des 

 » variations, de former une nappe continue reliant 

 « les uns aux autres tous les points de la courbe. On 

 " ne peut déterminer les deux fonctions arbitraires 

 « qu'en employant des considéiations tout k fait 

 « indépendantes de la méthode des variations, 

 « puisque la condition à laquelle il s'agit de satis- 

 « faire est supposée remplie au moment même où 

 « commence l'application de cette méthode. Le 

 » problème auquel on est ainsi conduit arrête 

 K aujourd'hui encore les efforts des géomètres et 

 « n'a pu être résolu que dans quelques cas parti- 

 « culiers. 



« La solution du problème de Monge présente 

 « des diflicultés analogues etpeut-être plus grandes. 

 « Les fonctions arbitraires d'une variable, qui 

 « entrent dans les équations du système des routes, 

 (( doivent être déterminées par la condition que les 

 « roules forment un système continu, permettant 

 « de transporter dans l'ensemble du remblai la 

 Il totalité des parcelles qui composent le déblai. La 

 « conilition, évidente a priori, que les routes limites 

 « soient tangentes à la fois à la surface du déblai et 

 « à celle du remblai, ne fait connaître qu'une de 

 « ces deux fonctions, et il n'existe, comme dans la 

 (( théorie des surfaces minima, aucune règle fixe et 

 (( précise conduisant à la solution complète de la 

 « question proposée, n 



Il est quelques cas simples où la solution com- 

 plète se trouve aisément. Ainsi, lorsque le déblai et 

 le remblai sont des volumes symétriques l'un de 

 l'autre par rapport à un plan passant entre les deux 

 volumes, la symétrie pouvant être oblique, les routes 

 du meilleur système s'obtiennent en portant chaque 

 élément sur son symétrique; elles sont parallèles à 

 une même direction c'est-à-dire normales à un 

 plan. Lorsque le déblai et le remblai sont des 

 volumes de révolution autour d'un même axe, les 

 routes du meilleur système sont situées dans les 

 plans méridiens; elles sont normales à une surface 

 de révolution autour du même axe. 



P. AppeU. 



Protesseiu' à la •Sorhonnc. 



