R. LIOUVILLE. — LA PROPAGATION DES MOUVEMENTS DANS LES FLUIDES 



209 



LA VITESSE DE PROPAGATION DES MOUVEMENTS 

 DANS UN FLUIDE INDÉFINI 



Les recherches faites par H. Hugoniol et pu- 

 bliées, après sa mort, dans le Journal des Mathè- 

 mathiques pures et appliquées (i), élucident d'une 

 façon complète un problème, depuis longtemps 

 posé par les physiciens, mais dont la solution ri- 

 goureuse n'était connue (pic dans des cas très par- 

 ticuliers. 



1 



On sait comment l'étude du son, celle de la lu- 

 mière, ont conduit à considérer les vitesses de la 

 propagation d'un ébranlement dans une masse 

 fluide. Pour lei calculer, il fallait supposer des 

 conditions assez simples pour que toutes les cir- 

 constances du mouvement fussent mises immé- 

 diatement en évidence. 



C'est ainsi qu'atin d'obtenir la vitesse du son 

 dans une conduite cylindrique, on exige que 

 chaque tranche, située dans une section droite de 

 la conduite, reçoive un déplacement d'ensemble 

 et que l'ébranlement produit donne lieu à de 

 faibles dilatations. Ces hypothèses étant vérifiées, le 

 mouvement tout entier peut être prévu; une tranche 

 quelconque, dont la distance à l'origine de la con- 

 duite est X, prend, après un certain temps t, le 

 mouvement qu'avait d'abord subi la première 



tranche ; le rapport - demeure constant , quelle 



que soit la tranche considérée et c'est lui qu'on 

 regarde comme représentant la vitesse de propa- 

 gation du mouvement dans la conduite. 



Dans cette théorie, rien n'autorise à penser 

 qu'un ébranlement déterminé à une extrémité de 

 la colonne gazeuse se propage encore avec une 

 vitese constante, s'il s'accompagne d'un change- 

 ment notable de pression. Il est possible, même 

 en ce cas, de connaître le mouvement qui prend 

 naissance, si le gaz était primitivement au repos; 

 et ce résultat est donné par un premier mémoire 

 de H. Hugoniot; cependant, après qu'il s'est fait 

 une ou plusieurs réflexions dans la conduite, le 

 mouvement qui leur succède n'est point en général 

 de ceux que l'on sait calculer et la vitesse avec la- 

 quelle il se propage demeurait, comme conséquence, 

 impossible à évaluer. Il y a plus : le mode de rai- 

 sonnement, employé pour définir et se représenter 

 cette vitesse de propagation dans les cas sim- 

 ples, convenait mal dès qu'il fallait imaginer pour 



(1) Journal des Mathématiques, dirige par M. Jordan, 18ST 

 et 1888. 



elle une expression variable à chaque instant et 

 cette difficulté de principe est néanmoins inévi- 

 table. 



Des circonstances analogues se sont présentées 

 dans l'étude de la lumière ; c'est seulement lors- 

 qu'il s'agit des ondes planes ou sphériques que 

 Ton avait une définition immédiate de leur vitesse 

 de propagation et en même temps l'expression de 

 celte vitesse, qui est une constante. 



Les conditions nécessaires au succès de la mé- 

 thode étaient toujours les suivantes : 



1" Que le mouvement fût entièrement connu, 

 exprimé par des formules analytiques explicites. 



o" Que chaque point du fluide, après un inter- 

 valle de temps, variable d'ailleurs avec sa position, 

 reproduisit exactement le mouvement déterminé 

 d'abord à l'origine, c'est-à-dire que la vitesse de 

 propagation cherchée fi'it une constante. 



11 



Les choses se présentent sous un aspect tout diffé- 

 rent, si l'on veut définir la vitesse de propagation 

 comme il est fait dans les Mémoires déjà cités. 



Pour préciser, imaginons une masse fluide, sé- 

 parée en deux parties par une surface S; d'un 

 côté de cette surface, il existe un 

 mouvement A, l'un quelconque 

 de ceux que la masse fluide peut 

 recevoir; de l'autre, par suite de 

 conditions convenables, un se- i 

 coud état B a pris naissance. Hu- 

 goniot dit qu'il y a propagation de 

 ce dernier mouvement, lorsque, 

 à un instant très proche de celui 

 que l'on considérait, la masse fluide est encore 

 animée des mouvements A etB, la surface de sépa- 

 ration s'étant changée seulement en une autre, Sj, 

 très voisine de la première. Cela étant, par un 

 point de S menons la normale à cette surface : 

 une portion très petite de cette normale est inter- 

 ceptée entre S et S, , et le rapport de celle longueur 

 à l'intervalle de temps qui s'est écoulé pendant le 

 changement survenu, est la vitesse de propagation 

 du mouvement B, aux dépens du mouvement A. 

 Cette vitesse peut varier, on le voit, avec le point 

 choisi sur S, elle peut aussi se modifier avec le 

 temps, mais cette généralité n'en rendra pas le 

 calcul plus diflicile. 



Voici maintenant les principes auxquels se rat- 

 tache toute cette question : 



