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R. LIOUVILLE. — LA PROPAGATION DES MOUVEMENTS DANS LES FLUIDES 



La continuité ne peut être troublée en aucun 

 point de la masse fluide et, comme conséquence, 

 les vitesses et les pressions qui répondent aux 

 états de mouvement A et B sont égales en tous les 

 points de S. Telles sont les relations qui doivent 

 être satisfaites sur cette surface et se conserver 

 lorsqu'elle a été remplacée par une autre, très voi- 

 sine. Elles sont particulières aux deux mouvements 

 que l'on considère et définissent la surface de l'onde. 

 Il en est d'autres, au contraire, qui traduisent seu- 

 lement les propriétés générales du fluide et con- 

 viennent à tous les étals qu'il peut prendre; ce sont 

 des équations aux dérivées partielles. Or, ces der- 

 nières, jointes aux précédentes, donnent par une 

 analyse presque élémentaire, l'expression de la 

 vitesse de propagation cherchée. On en conclut 

 d'abord la proposition suivante : 



La vitesse de propagation d'un mouvement dans un 

 fluide est déterminée j)ar l'état du fluide; elle ne change 

 point, quelle que soit la nature du mourement qui s'y 

 propage, pourvu qu'aucune discontinuité ne se produise. 



Afin de bien saisir la signification de ce résultat, 

 il faut remarquer d'ailleurs qu'étant donné un état 

 de mouvement A, tout autre mouvement B, com- 

 patible avec les propriétés du fluide ou, ce qui est 

 la même chose, avec les équations différentielles 

 qui les représentent, n'est pas nécessairement sus- 

 ceptible de se propager aux dépens de A. Un phé- 

 nomène plus compliqué peut prendre naissance et 

 c'est un point que mettent en lumière les recher- 

 ches antérieurement faites par Hugoniot dans un 

 cas plus simple. 



III 



Il est facile de s'en rendre compte, quand les 

 mouvements dont il s'agit s'eflectuent par tranches 

 parallèles, dans une conduite cylindrique. Les 

 portions du fluide animées des mouvements Aet B 

 sont séparées d'abord par une tranche S ; un troi- 

 sième mouvement y prend aussitôt naissance et se 

 propage, d'un côté aux dépens de A, de l'autre aux 

 dépens de B. Cette modification curieuse offre les 

 plus grandes analogies avec les phénomènes que 

 l'on désigne sous le nom de réflexions et qui se 

 produisent dans des circonstances un peu diffé- 

 rentes. 



Quant à l'expression mathématique de la vitesse 

 de propagation, elle présente un intérêt spécial, 

 en raison du petit nombre d'éléments qu'elle fait 

 intervenir. En efl'et, si la conduclibililé du fluide 

 pour la chaleur est négligeable, comme on le va 

 supposer, il y a une relation caractéristique et 

 connue entre la densité p et la pression j», de sorte 



que, l'une de ces quantités étant donnée, la se- 

 conde s'en déduit par une loi générale : 



P =/(?)■ 



Soit maintenant N la vitesse d'an point appar- 

 tenant il la masse fluide et situé sur la surface S, 

 cette vitesse étant comptée normalement à la sur- 

 face. La vitesse de propagation V s'exprime, au 

 point considéré, de cette manière : 



:N: 



V i/o 



et cela, quel que soit l'état initial du fluide, quel 

 que soit aussi le mouvement qui s'y propage. Ces 

 circonstances, propres à chaque cas particulier, 

 n'interviennent pas explicitement; elles sont né- 

 cessaires pour déterminer la densité et par suite 

 la pression, ainsi que la vitesse N au point dont il 

 s'agit; mais si l'on imagine que ces éléments soient 

 obtenus d'une façon quelconque, la vitesse de pro- 

 pagation V s'en déduira par la même formule 

 dans tous les cas possibles. 



Cette formule, au reste, était bien connue, lors- 

 qu'il était question des mouvements simples dont 

 l'étude peut être faite immédiatement; mais ici les 

 conditions qui déterminent le mouvement peuvent 

 être quelconques ; le mouvement qui prend nais- 

 sance peut être inconnu; si l'état primitif du fluide 

 est donné, la vitesse de propagation l'est par cela 

 même. En outre, ni la viscosité du fluide, ni des 

 forces appliquées en chacun de ses points et dé- 

 pendant uniquement delà position et de la vitesse 

 de ce point ne peuvent changer l'expression générale 

 de la vitesse de propagation. 



La méthode indiquée s'étend même à tous les 

 mouvements régis par un système d'équations aux 

 dérivées partielles du second ordre, notamment à 

 ceux qu'il faut étudier dans la théorie de l'élasti- 

 cité ou dans celle de la lumière. J'ajoute qu'il se 

 produit dans ces derniers cas une circonstance 

 particulière fort importante. Les équations qui s'y 

 rattachent ayant tous leurs coeflîcients constants, 

 les valeurs de la vitesse de propagation sont en- 

 tièrement déterminées pour chaque direction nor- 

 male à la surface S. Les formules obtenues sont 

 d'accord avec celles que donnent la considération 

 des ondes planes et le principe d'Huyghens, mais 

 pour les déduire des équations différentielles, base 

 des recherches sur ce sujet, les procédés sont di- 

 rects et n'impliquent aucune hypothèse. 



R. Liouville, 



Répétiteur à l'Kcole Polytochniqno 



