G. DE LONGCHAMPS.— LES FONCTIONS HYPER-BERNOULLIENNES ET LA FONCTION;; in) 371 



LES FONCTIONS HYPER-BERNOULLIENNES ET LA FONCTION P W 



La Revue a renilu compte il y a quelques mois ' 

 ilu travail où nous avons exposé la théorie et 

 quelques applications des Fonctions hyper-Bernoul- 

 liennes '-. 



Nous av(jns montré comment elles se rattachent à 

 un certain nombre de fonctions connues. Mais, à ce 

 propos, notre mémoire présente une lacune, qu'il 

 importe de signaler. 



C'est un fait notable que la fonction plu) de 

 M. Weierstrass, base de toute la théorie des fonc- 

 tions elliptiques, telle qu'elle est exposée dans 

 l'ouvrage si remarquable du regretté Halphen ^ 

 peut être considérée comme une fonction hyper- 

 BernouUienne. 



Halphen a observé loc. dt.) <iue Texpression 

 algébrique [n — 1)Â, .\„_i + (" — "2)A2A„_, -f-- • ■ + 

 Â„_iA, est susceptible d'une transformation impor- 

 tante. Présentée, comme nous allons le faire, à un 

 point de vue général, cette formule intéresse la 

 théorie de toutes les fonctions hyper-Bernoul- 

 liennes. 



La formule fondamentale 



?(«) A„ = A.A„_, -h A,A,._,4-. . . + A„_, A, 



donne 



H^(«)A„=(rt— 1)A,A„_,+ (h— 2)A,A„_,+...+A„_,A, 

 -f A,A„_,+2A,A„_,+ . . . + ;„-l)A„_,A, 



et, par conséquent, 



J^<f(«)A„=(«— l)AiA„_,4-:/i~2)A,A„_,+...+A„_.A,. 



Ainsi, l'expression 



(« — l)AiA„_, +. . . + A„_,A, 



peut toujours se remplacer, quelle que soit la rlpf 

 ?("). par 



' Voyez la Revue du 15 mars dernier, p. 146. 



- Voyez le Volume LU des Mémoires couronnés et Mémoires 

 des savants étrangers publiés par l'Académie royale de Belgique. 



2 G.-H. Halphex, membre de l'Iustitut. Traité des fonctions 

 tUiptiques et Jeteurs applications. Paris, Gauthier- ViUars, 1886. 



* CcUo reuiarque, si évidente qu'elle soit, est importante 

 parce que, en posant 



/■ W = a.+ «,-'■ + a.-'-' + ...+ «'. •'■" • ■ • 

 ou a 



f\j-) f [j:] — ... (a,a„_i + 2 a,an-î + . . . -r 



+ (« — l)a,a„-i-l-"o:,a,i].c''-' +... 

 Le coefficient de .i"-l, dans ce développement, est Joue 



Pour l'établir, nous devons rappeler la définition 

 des fonctions hyper-BernouUiennes. Soient 



A,, \„ A,. ... A, 



les coefficients d'une fonction d'une lettre .r, déve- 

 loppée en série. Si l'on pose, comme nous l'avons 

 fait dans le Mémoire cité, 



?(»)A„ = (A)„' 



il est facile de reconnaître que^ («) est une fonction 

 hyper-BernouUienne, correspondant à une clef du 

 second ordre. 



Posons, avec Halphen [loc. cit., p. 02) : 



p{>n 



- + Ci + C,(/2+C,?<'' + ... + C„K'^"-^+... 



Si l'on tient compte de la relation connue 



en égalant les termes qui correspondentaux mêmes 

 puissances de u. dans les deux membres, on trouve 



Cl = 0, puis 



(A) (2« — 2)(2n — 3) (2» — 4)C„ = 24[(n — 1)Ch-|-. 

 + (h — 3)C„_2C, + (w— •4)C„_3C3-}-...+ C„_3C,— C„] 



D'après celte remartiue, la relati(m (A) prend la 

 forme - : 



(2n + l) (» — 3) 

 3 



c„ = C, C„_, + C, C„. 3 . . . + c,,_, c. 



' Dans cette lonnulc, if{ii) désigne une fonction do n, quo 

 nous appelons la Clef; et (A)n représente, symboliquement, la 

 suite 



A, A„_i + A, A„-. + . . . + A„_, A,. 



La foi'nmlo en question ])ermet donc de calculer, par voie 

 récurrente, les coefficients A, à partir de " = /), connaissant 

 A„ A„... Ap-i. 



Dans certains cas, la série adjointe aux nombres récurrents a, 

 étant de parité impaire, on doit poser 



f [■'■) = <»„■'■ + a,-'-' + «.■'■' • ■ • + a„.f2n+i+. . . 



Dans cette hypothèse, on a 



(1) f[x)f'ix) = ...lu.rj:„+'iai,a,-i+..+ 



4- (2 H — 1) a„_i a,+ (2 n +i) «,»„] j.-2"+i + . . . 



Pour csprimcr le coefficient de .r^n-t-l, en fimction des quan- 

 tités ail et (aln, ou observera que les relations : 



<p(/OA„= A,A„_i + ... + A„_iA„ 

 l f /0A,.= (« — lyA,A„_i + ... + A„-iA„ 

 donnent 



(« + l)ï(/0A„ = ('2;,-l)A,A„_, + ...-l-3A„-,A„ 



d'aju-és cela, le coefficient du ternie en ,c2"fi, dans (1), est 



(2» + 2)c(.a„ + i»+ !)(«)„. 



- Pour le calcul nécessaire, très simple d'ailleurs, voyez le 

 Traité d'Halphen, p. 92. 



