E. PICARD. — REVUE ANNUELLE D'ANALYSE 



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l'Analyse. Mais cette idée de fonction est bien 

 vague par elle-même; c'est peu k peu seulement 

 que les analystes se sont rendu compte de son 

 étendue, et nos idées à ce sujet sont certes aujour- 

 d'hui bien difTérentes de celles de Lagrange. à 

 l'époque où ce grand géomètre écrivait son traité 

 sur le Calcul des fonctions. On sait, par exemple, 

 aujourd'hui qu'une fonction continue n'a pas né- 

 cessairement une dérivée, qu'il existe des fonctions 

 continues ayant dans tout intervalle une infinité 

 de maxima et minima. Il est donc nécessaire, si l'on 

 veut sortir des généralités, d'étudier des classes 

 de fonctions que distinguent quelques caractères 

 spéciaux. 



D'un intérêt tout particulier, sont les fonctions 

 qu'on appelle maintenant fonctions analytiques, 

 dont la théorie a été créée par Cauchy, et qui 

 ont fait, depuis vingt ans, l'objet d'innombrables 

 travaux. Leur étude revient à celle des fonc- 

 tions M de deux variables .r et // satisfaisant à 

 l'équation : 



m 





Les fonctions satisfaisant à cette équation peu- 

 vent s'associer deux h deux, de telle sorte que 

 u et V désignant deux fonctions associées, u -\r iv 

 soit une fonction analytique de la variable complexe 

 z =^ X -\- iij, c'est-à-dire une fonction de s ayant 

 en chaque point une dérivée unique. L'équation (1) 

 à laquelle on est ainsi conduit, en se plaçant à un 

 point de vue purement abstrait, se rencontre dans 

 plusieurs questions de physique mathématique. 

 Dans la théorie de la chaleur, l'équation précédente 

 régit les variations de la température u des points 

 d'un plan, quand l'équilibre calorifique est établi. 

 Dans le mouvement permanent des fluides sur un 

 plan, quand il existe un potentiel u de vitesse, 

 elle est vérifiée par ce potentiel de vitesse; les 

 lignes V = Constante, orthogonales aux lignes 

 d'égal potentiel, sont les lignes de courant. On 

 peut voir de nombreux exemples de tels mouve- 

 ments dans les admirables leçons de Kirchoff sur la 

 physique mathématique. Nous rencontrons encore 

 l'équation (1) dans le mouvement permanent de 

 l'électricité sur une plaque conductrice; u désigne 

 la tension électrique, et, ici, comme plus haut pour 

 la chaleur, l'équation exprime que l'électricité ne 

 s'accumule pas dans un élément pris arbitrairement 

 sur la plaque. Prenons deux exemples simples; 

 soit : 



iz=x-{ h/i 



les lignes des courants sont des cercles passant par 

 les points a et J; le courant entre sur la plaque par 



un des points et sort par l'autre. Si au contraire 



nous posons : 



z —a 

 u + !„=-., los 



' z — 



les lignes de courant sont des cer^'les par rap- 

 port auxquels les points a et i sont conjugués; on 

 peut concevoir la réalisation expérimentale d'un 

 tel état, en joignant sur la plaque les points a et 6 

 par une courbe qui serait le siège d'une force élec- 

 tromotrice constante. Nous verrons tout à l'heure 

 une curieuse application de celte remarque. 



Parmi tous les problèmes relatifs à l'équation (1), 

 ou à l'équation analogue avec trois termes, il en 

 est un particulièrement célèbre connu sous le nom 

 de principe de Dirichlet. Une intégrale de cette 

 équation, continue ainsi que ses dérivées à l'inté- 

 rieur d'un contour, est complètement déterminée 

 quand on donne sa valeur le long de ce con- 

 tour; ce sera la valeur sur une surface fermée, 

 s'il s'agit de l'équation à trois termes. La dé- 

 monstration, pourtant si féconde, que Riemann 

 donne du principe de Dirichlet est sujette à de 

 graves objections, et de nombreuses recherches 

 ont été faites pour arriver à une démonstration 

 rigoureuse. Il convient de mentionner surtout 

 M. Neumann et M. Schwarz. Les beaux travaux 

 de M. Schwarz sur cette question se trouvaient 

 épars dans de nombreux recueils; les géomètres 

 seront heureux maintenant de les trouver rassem- 

 blés dans les deux volumes ' où l'éminent profes- 

 seur de Gottingen vient de réunir ses œuvres. Je 

 tiens à citer particulièrement la méthode à laquelle 

 M. Schwarz donne le nom de procédé alterné ; 

 elle a pour objet de démontrer que, si l'on sait 

 résoudre le problème de Dirichlet, pour deux con- 

 tours ayant une partie commune, on saura le ré- 

 soudre pour le contour limitant extérieurement 

 l'ensemble des deux aires. Elle me paraît d un 

 grand intérêt, et avec des modifications conve- 

 nables, elle peut être employée dans l'étude d'un 

 grand nombre d'autres équations aux dérivées 

 partielles. Le problème de Dirichlet se pose dans 

 plusieurs questions de physique; contentons-nous 

 de rappeler qu'on y est amené quand on veut avoir 

 la température des points d'un corps, l'équilibre 

 calorifique étant établi et la température étant 

 donnée à la surface. 



Nous avons jusqu'ici considéré le plan où se 

 meut le point {.r.i/) comme un plan simple. Une 

 notion plus générale joue, dans l'analyse moderne, 

 un rôle essentiel, je veux parler du plan multiple, 

 c'est-à-dire du plan recouvert de feuillets infiniment 

 rapprochés soudés les uns aux autres le long de 



1 Gesammelte Maihemaîische Ahhanâhfngen von H. A. Schwarz 

 Berlin, ISIUI. 



