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E. PICARD. — HEVUK ANNUELLE D'ANALYSE 



certaines lignes ; on donne à l'ensemlile de ces 

 feuillels le nom de surface de Riemann. On rem- 

 place quelquefois aujourd'hui cette notion par une 

 autre, identi([ue au fond, mais peut-être plus facile 

 à saisir. Considérons dans l'espace une surface 

 fermée, c'est-à-dire n'étant limitée par aucune 

 ligne et contenant un certain nombre jo de trous; 

 la surface du tore offre un exemple correspondant 

 àp:^ 1, et une surface convexe que l'on munirait 

 de p anses nous donne une représentation géné- 

 rale d'une telle surface. On peut, sur celle-ci, 

 trader 2/y circuits qui ne soient pas susceptibles de 

 se réduire les uns aux autres ou à un point par 

 une déformation continue. On prendra, par exem- 

 ple, un circuit autour de chaque trou, et un à tra- 

 vers chaque trou; on aura ainsi dans le tore un 

 parallèle et un méridien. Ceci posé, l'équation (1) 

 considérée plus haut correspondait au plan simple ; 

 à la surface actuelle on peut faire correspondre une 

 équation analogue. Cette belle extension a été 

 faite par M. Beltrami; l'interprétation hydrodyna- 

 mique ou électrique est manifestement la même 

 que dans le cas du plan. Dans un ouvrage récent *, 

 M. Félix Klein a insisté sur celte interprétation et 

 démontré, en quelque sorte physiquement, les prin- 

 cipales propriétés des intégrales abéliennes. Sup- 

 posons, en effet, que notre surface soit conductrice 

 et que les 2/ circuits fermés indépendants, dont il 

 a été question tout à l'heure, soient le siège d'une 

 force électromotrice constante. Un régime de cku- 

 rants s'étaldira sur la surface, et le potentiel cor- 

 respondant sera partout fini, avec une infinité de 

 déterminations, car il augmente d'une quantité 

 proportionnelle h la force électromotrice à chaque 

 passage à travers une coupure. Il y aura 2p poten- 

 tiels de cette nature linéairement indépendants; 

 on peut les associer deux à deux en unissant à 

 chaque potentiel les lignes de courant correspon- 

 dantes. Si II et î' désignent deux fondions asso- 

 ciées, les p combinaisons u -\- iv correspondent aux 

 intégrales de première espèce, attachées à la surface 

 de Riemann dont nous sommes parti. Ce genre de 

 considération n'est pas sans doute entièrement 

 satisfaisant au point de vue de la rigueur; il n'en 

 présente pas moins un grand intérêt, comme don- 

 nant une forme concrète à des spéculations abs- 

 traites sur les fonctions algéltriques, et montrant 

 le lien étroit qui unit quelquefois des ordres d'idées 

 en apparence l>ien différents. 



Revenons maintenant à la théorie proprement 

 dite des fonctions analytiques d'une variable com- 

 plexe. Elle a été, dans ces dernières années, une 

 des branches les plus (■iillivées de l'Analyse mathé- 



' Ubei' Ricmanii's Tlicnrio ilor .il^a'braiscliPii KuTidiuiii'ii 

 uiitl ihi'Cr Intégrale, einc Erpinzims dor {.'owiilmlliluti D.irs- 

 Iplliincon. Lciiizifr, 1882. 



matique. L'emploi de théorèmes généraux, per- 

 mettant souvent d'éviter de longs calculs et de 

 donner des démonstrations en quelque sorte syn- 

 thétiques satisfait pleinement l'esprit et explique 

 bien l'attrait que ces recherches ont exercé sur 

 beaucoup de géomètres de notre temps. N'ou- 

 blions pas d'ailleurs que les travaux de Liouville 

 et de M. Hermite sur les fonctions doublement pé- 

 riodiques avaient, il y a plus de quarante ans, 

 donné un mémorable exemple de la fécondité des 

 principes de Cauchy. La publication en 1876 d'un 

 mémoire de M. Weierstrass sur les fonctions uni- 

 formes fut un événement pour les analystes. La 

 découverte capitale de l'illustre auteur consiste à 

 avoir étendu aux fonctions transcendantes la dé- 

 composition en facteurs trouvée pour les polynô- 

 mes dès les débuts de l'algèbre. Je ne puis m'éten- 

 dre sur toutes les recherches provoquées par ce 

 travail; rappelons au moins les beaux mémoires 

 de MM. Mittag Lefller, Appell et (îoursal. Le déve- 

 loppement des théories générales permit d'ajipro- 

 fondir l'étude de fonctions spéciales ; parmi celles- 

 ci, il n'en est pas qui excitèrent plus dans ces der- 

 nières années l'intérêt des géomètres que ces 

 fonctions désignées sous le nom de fnncUonx fiich- 

 sknnes par M. Poincaré à qui on en doit la décou- 

 verte. Ce fut une généralisation bien remarquable 

 des fonctions modulaires étudiées par' M. Hermite 

 dans la théorie des fonctions elliptiques, et possé- 

 dant un nombre infini de points singuliers distri- 

 bués le long d'un cercle. A l'aide des fonctions 

 fuchsiennes, on peut représenter les coordonnées 

 d'un point arliitraire d'une courbe algébrique 

 quelconque par des fonctions uniformes d'un pa- 

 ramètre ; ce résultat si profond montre assez l'in- 

 térêt des nouvelles fonctions. 



J'ai dit plus haut la perfection à laquelle était 

 arrivée la théorie générale des fonctions analy- 

 tiques d'une variable. Il s'en faut qu'il en soit de 

 même quand on passe aux fonctions de plusieurs 

 variables; ici les difficultés restent considérables. 

 Un des résultats les plus saillants obtenus dans 

 ces derniers temps est l'extension aux intégrales 

 doubles du théorème fondamental de Cauchy rela- 

 tif aux intégrales simples prises le long d'un con- 

 tour fermé; elle a été faite par M. Poincaré. L'ave- 

 nir montrera sans doute l'importance de celle 

 extension. J'ai de mon côté cherché à approfondir 

 la théorie des fonctions algébriques de deux va- 

 riables; cette étude fait bien voir les différences 

 profondes qui existent entre ce cas et celui d'une 

 seule variable et combien l'analogie, qui si souvent 

 est un guide excellent, peut devenir trompeuse. 

 Au surplus, il apparaît bien à priori que la théorie 

 d'une fonction analytique de deux variables com- 

 plexes est de toute autre nature que celle d'une 



