E. PICARD. 



REVUE ANNUELLE D'ANALYSE 



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fonction d'une variable. Bornons-nous à la partie 1 

 réelle de la fonction; nous aurons dans le second 

 cas une fonction de deux variables réelles unique- 

 ment assujeltie à vérillor l'équation (I) précédem- 

 ment écrite-, dans le premier cas, il s'agira d'une 

 fonction de quatre variables réelles devant satis- 

 faire à quatre équations aux dérivées partielles 

 faciles k former. 11 est clair que, dans ces condi- 

 tions, le déveloi>pement des deux théories ne peut 

 être parallèle, et c'est ainsi, pour ne citer qu'un 

 simple mais bien mémorable exemple, que les 

 quatre paires de périodes d'une fonction analytique 

 uniforme quadruplement périodique ne peuvent 

 être arbitraires. 



Il 



Il n'est pas de question plus intéressante pour 

 les applications que l'élude dos équations diffé- 

 rentielles; c'est véritablement l'objet du calcul 

 intégral. Le développement de la théorie des 

 fonctions analytiques a eu là une très heureuse 

 influence. Les théorèmes généraux relatifs à l'exis- 

 tence des intégrales et aux conditions qui les 

 définissent sont maintenant devenus classicjues. 

 En ce qui concerne les équations différentielles à 

 une seule variable, c'est surtout dans la théorie des 

 équations linéaires qu'ont éti' réalisés de très 

 grands progrès. Un forait une bibliothèque avec 

 les mémoires publiés depuis vingt ans sur ce genre 

 d'équations, dont diverses classes ont été inté- 

 grées à l'aide de transcendantes simples, et un 

 résultat ti'ès général a été obtenu par M. Poin- 

 caré qui a montré qu'avec des transcendantes ana- 

 logues aux fonctions fuchsiennes on pouvait inté- 

 grer une classe extrêmement étendue d'équations 

 linéaires à coetricieuts algébriques. Plusieurs ques- 

 tions d'algèbre et de géométrie d'un grand inté- 

 rêt sont aussi intimement liées à la théorie des 

 équations linéaires, eu particulier l'étude des 

 groupes d'ordre fini qui a fait l'objet d'un dos 

 plus beaux mémoires de M. Jordan. 



Les progrès ont été moindres dans la théorie 

 des équations non linéaires. L'ignorance où l'on 

 se trouve généralement de la façon dont les cons- 

 tantes arbitraires figurent dans l'intégrale géné- 

 rale rend très difficile l'étude de celle-ci. Un cas 

 semble particulièrement simple; c'est celui oii 

 cette intégrale est une fonction uniforme de la 

 variable. Sauf pour les équations du premier ordre, 

 on ne peut malheureusement reconnaître s'il en 

 est ainsi; des conditions nécessaires, de nature 

 algébrique, sont faciles à trouver, mais il fau- 

 l'rait, en général, adjoindre à celles-ci des condi- 

 tions de nature transcendante qu'il parait bien 

 difficile de former. Les cas où les premières condi- 

 tions sont suffisantes n'en sont que plus intéres- 

 sants; on eu trouve un exemple remarquable dans 



le beau mémoire de Mme Kovvaleski, relatif au 

 mouvement d'un corps solide pesant autour d'un 

 point fixe, que l'Académie des Sciences a couronné 

 il y a deux ans. Mme Kowaleski cherche dans quels 

 cas les neuf cosinus qui fixent la position des axes 

 principaux de l'ellipsoïde d'inertie du corps relatif 

 au point fixe sont, quelles que soient les données 

 initiales, des fondions uniformes du temps. Le cas. 

 traité par Lagrange, du mouvement d'un corps 

 pesant de révolution suspendu par un point de sou 

 axe, offre un exemple d'une telle circonstance; les 

 transcendantes de la théorie des fonctions ellip- 

 tiques permettent alors de résoudre le problème. 

 Mme Kowaleski a montré qu'il existe un autre cas 

 et un seul: c'est celui où, désignant par A, B, C, 

 les axes principaux de l'ellipsoïde d'inertie, on a 

 A = B r^ 2 C et où le centre de gravité du corps 

 se trouve dans l'équateur de l'ellipsoïde. Ici c'est ù 

 l'aide des transcendantes de la théorie des fonc- 

 tions abéliennes que s'effectue l'intégration com- 

 plet o. 



L'étude des équations aux dérivées i)arlielles 

 estla plus difficile de l'Analyse ; la géométrie infini- 

 tésimale et la physique mathématique sont gran- 

 dement intéressées à ses progrès. Les équations 

 du premier ordre ont fait l'objet d'immenses tra- 

 vaux, et cette théorie est une des plus parfaites du 

 calcul intégral; cette perfection toutefois est. peut- 

 être, plus dans la forme que dans le fond, car les 

 tliéorèmes si beaux et quelquefois si profonds <le 

 la théorie ont généralement pour objet de ramener 

 un problème non l'ésolu a un autre qui ne l'est pas 

 davantage. Ces transformations n'en ont pas moins 

 un très grand intérêt, et, en particulier, les der- 

 nières recherches de M. Lie sur ce sujet, sorte de 

 synthèse des méthodes antérieures, méritent de 

 devenir classiques. Pour le cas du second ordre, 

 la réduction de l'intégration de l'équation à l'inté- 

 gration d'un système d'équations différentielles 

 ordinaires n'a pas jusqu'ici été effectuée, et ne le 

 sera sans doute pas de longtemps. Dans cet ordre 

 d'idées, une intéressante addition aux mémoires 

 célèbres de Monge et d'Ampère a été faite en 1870 

 par M.. Darboux. On peut se placer, dans la théo 

 rie des équations aux dérivées partielles, à un 

 tout autre point de vue et chercher, non l'inté- 

 grale générale, mais une intégrale déterminée par 

 certaines conditions aux limites. Ce second pro- 

 blème intéresse particulièrement la physique ma- 

 thématique; il est distinct du premier, et, le plus 

 souvent même, la connaissance de l'intégrale gé- 

 néi'ale avec des fonctions arbitraires n'est d'aucun 

 secours pour sa solution. Les conditions aux 

 limites peuvent êti'C extrêmement variées. Ainsi, 

 pour les équations du second ordre à deux va- 

 riables, une intégrale supposèo continue sera. 



