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E. PICARD. 



RKVUE ANNUELLE D'ANALYSE 



comme je l'ai montré, déterminée dans des cas 

 très nombreux par la valeur qu'elle prend le long 

 d'un contour fermé; dans d'autres cas, on devra 

 se donner le long d'une courbe la valeur de l'inté- 

 grale et d'une de ses dérivées du premier ordre, et 

 les quelques pages consacrées incidemment à ce 

 sujet par Riemann, quand l'équation est linéaire, 

 ne sont pas une des moins belles productions de 

 l'illustre analyste. Prenons un exemple plus spé- 

 cial dans la théorie analytique de la chaleur de 

 laurier; ce grand ouvrage, plus admiré que lu, 

 pourra maintenant être aisément étudié grâce à 

 M. Darboux qui vient d'en publier une nouvelle 

 édition, et l'a enrichie de notes précieuses com- 

 mentant la pensée de l'auteur dans les endroits 

 difTiciles ou obscurs. Le problème du refroidisse- 

 ment d'un solide rayonnant revient, d'après Fou- 

 rier, & déterminer une fonction V(.r, ij. z, t) satis- 

 faisant à l'équation 



f2) 



•5V 



Î2V 



■5.'/- 



■5-V' 



pour tous les points du corps V doit se réduire, 



pour < = () , à une fonction donnée de x, y, z; de 



plus à la surface du corps on doit avoir, pour 



rfV 



toute valeur du temps : l-AV^O, h étant une 



an 



constante dépendant du pouvoir émissif. Quoique 

 le problème soit posé depuis longtemps et que la 

 voie ouverte par Fourier pour sa solution semble 

 bien féconde, on peut dire que le problème n'est 

 pas encore résolu d'une manière rigoureuse. 

 M. Poincaré, reprenant récemment la question, a 

 montré combien la convergence des séries em- 

 ployées était probable; mais de nouvelles re- 

 cherches sont encore nécessaires. Il en est d'ail- 

 leurs de même, il faut bien l'avouer, pour plusieurs 

 développements usi tés en physique mathématique ; 

 on se prend parfois à douter que la solution dite 

 simple soit, au moins au point de vue mathé- 

 matique, le véritable élément pour la solution 

 complète de plus d'un problème. Quoi qu'il en soit, 

 n'est dans la recherche des intégrales avec des 

 conditions aux limites que doivent surtout porter, 

 je crois, les efforts des géomètres qui s'occupent 

 des équations aux dérivées partielles. 



Toutes les parties des mathématiques sont étroi- 

 tement liées les unes aux autres, et des notions 

 d'abord restreintes à un domaine spécial sont 

 susceptibles de prendre une extension inattendue. 

 Telle est la notion dor/roi/pe. Depuis Galois la théo- 

 rie des groupes de substitutions joue en algèbre 

 un rôle capital; une théorie analytique, présen- 

 tant avec celle ci une grande analogie, vient 

 d'être développée par M. Sophus Lie dans deux 



volumes ' qui compteront parmi les travaux 

 mathématiques les plus importants de notre 

 temps. M. Lie étudie lea (/roupes de transformations; 

 soient 



X'. zz f, (x 



., ru) (•■= 1,2, ...,n), 



n relations, dépendant de r arbitraires a, établis- 

 sant une transformation entre les variables x et x' . 

 Ces relations définissent un groupe, si deux trans- 

 formations de cette forme effectuées successive- 

 ment donnent une transformation rentrant dans 

 le même type. M. Lie a fait la découverte capitale 

 que la recherche de tous ces groupes, pour un 

 nomi)re donné de variables et de païamètres, se 

 ramène à l'intégration d'équations différentielles 

 ordinaires. Indiquons quelques résultats particu- 

 liers bien curieux. Quand il n'y a qu'une seule va- 

 riable («=!) le groupe peut, par un choix conve- 

 nable de cette variable, être ramené au groupe 

 linéaire et contient donc au plus trois paramètres. 

 Dans le cas de deux variables, le groupe ne pourra 

 pas contenir plus de huit paramètres, s'il n'existe 

 pas de famille de courbes, 9 (ar, «/)= const., que 

 ce groupe transforme en elle-même. La théorie de 

 M. Lie est d'une grande importance pour le calcul 

 intégral ; elle ne se borne pas d'ailleurs aux trans- 

 formations de points, mais s'occupe aussi des trans- 

 formations de contact si intéressantes dans l'ana- 

 lyse des équations aux dérivées partielles. L'émi- 

 nent géomètre norwégien a aussi abordé l'élude 

 des groupes continus d'ordre infini et exposé les 

 principes généraux de la recherche des invariants 

 des équations différentielles. L'étude détaillée de 

 ces invariants a été faite, il y a quelques années, 

 par Halphen pour les équations linéaires ; tout 

 récemment. M. Appell s'est occupé des invariants 

 des équations du premier ordre et du premier 

 degré, et M. H. Liouville de ceux d'une classe 

 d'équations du second ordre. 



III 



La théoi'ie des groupes m'amène à parler des 

 hypothèses sur lesquelles repose la géométrie. 

 Celles-ci ont fait dans notre siècle l'objet de pro- 

 fondes recherches; ce ne serait pas ici le lieu d'en 

 faire l'historique complet. Je veux cependant m'ar- 

 rèter un moment sur ce sujet d'un si grand intérêt 

 philosophique. Le mémoire de Riemann (Uber die 

 Hypothesen welche der (ieometrie zu grunde lie- 

 gen, OEuvres complètes) est fondamental. Le grand 

 géomètre cherche à fixer la notion d'une multi- 

 plicité ou d'un espace à n dimensions; d'après lui, 

 son vrai caractère consiste en celte propriété que 

 la détermination de position dans cet espace peut 



' Théorie der Trnnsfw 

 Leipzig, 1888 et 1890. 



un Suplius LiK. 



