E. PICARD. 



REVUE ANNUELLE D'ANALYSE 



707 



tre ramenée à n déterminalions de grandeurs, 

 c'est-à-dire que la position d'un j^oivf se trouve 

 représentée au moyen de w variables a-, , x.,,..., x . 

 Nous devons alors étudier les mesures dont est 

 susceptible un tel espace. Il est d'abord nécessaire 

 d'établir une expression mathématique pour la 

 longueur d'une ligne. D'Alembert dit quelque part 

 que la définition et les propriétés de la ligne 

 droite sontl'écueil et, pour ainsi dire, le scandale 

 des éléments de la géométrie ; au point de vue où 

 se place Riemann, il n'y a plus de scandale et nous 

 voyons nettement ce qu'il y a d'arbitraire dans la 

 définition de la longueur. Partageant la ligne en 

 éléments, on ramène le prcdolème à établir pour 

 chaque point une expression générale pour l'élé- 

 ment linéaire ds, qui contiendra alors les quantités 



.r,, :r., y„ et les accroissements (Iv^, dx. ■,,..., dx„. 



Cette expression sera une fonction homogène des 

 quantités dx et du premier degré, dans laquelle 

 les constantes seront des fonctions continues 

 des .r. Riemann se borne à examiner le cas le plus 

 simple oii ds est la racine carrée d'une forme qua- 

 dratique en (?a; toujours positive, dans laquelle les 

 coefficients sont des fonctions continues des x. 

 Rien n'empêcherait de faire des hypothèses plus 

 générales, de supposer par exemple que ds est la 

 racine quatrième d'une forme biquadratique ; l'é- 

 lude de ces cas n'exigerait pas de principes nou- 

 veaux, mais ne nous apprendrait rien de plus sur 

 la théorie de l'espace. Partons donc de ds- repré- 

 senté par une forme quadratique ; celle-ci étant 

 donnée, les lignes géodésiques de l'espace seront 

 immédiatement définies par leurs équations diffé- 

 rentielles. Remarquons maintenant que la forme 



quadratique renferme 



coefficients, 



fonctions arbitraires des x; en changeant les va- 

 riables, on peut donner à n de ces coefficients 



telles valeurs que l'on veut; les autres 



sont alors déterminés. 11 y a donc en chaque point 



nin — 1) „ 



de notre espace fonctions invariantes 



qui sont caractéristiques de cet espace. Prenons 

 alors trois points très rapprochés, et joignons 

 deux d'entre eux B et G par une géodésique L, 

 puis considérons l'ensemble des géodésiques joi- 

 gnant le premier point A à tous les points de L; 

 l'ensemble de ces lignes formera une surface à 

 deux dimensions. Cette surface a au point A une 

 certaine courbure (au sens de Gauss) ; ce sera la 

 courbe de l'espace en A dans la direction de l'élé- 

 ment de surface que nous avons construit. Si l'on 

 connaît la courbure de l'espace correspondant à 



n{ii — i) . 

 directions arbitraires d éléments de 



surface, on la connaîtra dans toute autre direction. 

 Cette courbure sera, en général, variable avec la 

 direction de surface que l'on envisage. Un cas re- 

 marquable est celui dans lequel la courbure est en 

 chaque point la même dans toute direction, et ne 

 varie pas d'un point à l'autre ; on dit alors que 

 l'espace est à courbure constante. Un caractère fon- 

 damental des espaces à courbure constante est 

 qu'on peut dans ces espaces déplacer une figure 

 sans altérer ses longueurs et procéder, dans les 

 démonstrations, par superposition des figures. 

 Mais il y a ici une distinction importante à faire : 

 la courbure peut être positive ou négative. A l'hy- 

 pothèse que l'espace a une courbure constante 

 négative s'attache un intérêt historique considé- 

 rable. Car c'est <i cette hypothèse qu'on fut con- 

 duit d'abord pour le cas de deux dimensions, non 

 pas en suivant la voie de Riemann, mais d'une ma- 

 nière plus élémentaire. Lobatschewsky chercha 

 le premier (en exceptant les travaux inédits de 

 Gauss) à édifier une géométrie sans faire usage du 

 célèbre axiome d'Euclide. Laissant de côté cet 

 axiome, Legendre avait montré que la somme des 

 angles d'un triangle ne peut dépasser deux droits; 

 mais sa démonstration, il ne faut pas l'oublier, 

 suppose que l'espace est infini. Partant de la 

 même idée, Lobatchewsky réussit ;"i construire une 

 géométrie, qui n'est autre que celle de l'espace à 

 courbure constante négative, dans laquelle la 

 somme des angles d'un triangle est moindre que 

 deux angles droits. M. Beltrami donna plus tard 

 de cette géométrie, souvent appelée non eucli- 

 dienne, une représentation remarquable en mon- 

 trant que la géométrie plane du géomètre russe 

 est identique à la géométrie sur les surfaces à 

 courbure constante négative. Dans l'hypothèse où 

 la courbure constante est positive, cas auquel 

 Riemann s'est attaché de préférence, des circons- 

 tances toutes différentes se présentent. Ici l'espace 

 n'est plus infini, c'est-à-dire que les distances sur 

 une géodésique sont finies, et la somme des angles 

 d'un triangle dépasse deux droits. Entre la géo- 

 métrie de Lobatchewsky et celle de Riemann se 

 trouve notre géométrie ordinaire ou euclidienne, 

 qui correspond aux espaces dans lesquels la cour- 

 bure contante est nulle. 



Nous avons dit plus haut que, dans les espaces 

 à courbure constante, on pouvait déplacer une 

 figure sans altérer ses longueurs. C'est en étudiant 

 ces déplacements, qui pour l'espace à trois dimen- 

 sions dépendent de six paramètres, qu'on peut 

 envisager à un nouveau point de vue les hypo- 

 thèses fondamentales de la géométrie. M. Helmoltz 

 a appelé autrefois l'attention sur cette question 

 qui se rattache aux théories de M. Lie. Ces dépla- 

 cements forment en effet nécessairement un 



