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E. PICARD. — REVUK ANNUELLE D'ANALYSE 



groupe au sens du savant norwégien. M.Poincaré, 

 dans quelques pages remarquables, vient d'appro- 

 fondir la question pour le cas du plan. Il suppose 

 (Tabord qu'il existe un groupe de mouvements à 

 trois paramètres et fait en outre l'hypothèse 

 qu'une figure reste immobile quand deux de ses 

 points restent immobiles. Dans ces conditions, on 

 obtient les géométries des espaces à courbure 

 constante positive ou négative, dont nous avons 

 parlé plus haut, avec la géométrie euclidienne 

 comme cas intermédiaire, et en outre une autre 

 géométrie non encore signalée. M. Poincaré donne 

 de ces géométries une interprétation élégante en 

 les rapportant aux diverses surfaces du second 

 degré. La dernière, qui se rapporte à l'hyperbo- 

 loïde à une nappe, étonne au premier abord. En 

 fait, si l'on revient à l'élément linéaire de Riemann, 

 il me semble qu'elle correspond simplement au ds- 

 des espaces à courbure constante, mais avec une 

 forme quadratique qui n'a pas un signe invariable. 

 C'est ainsi qu'il arrive dans ce cas que la distance 

 de deux points peut être nulle, sans que ces deux 

 points coïncident. L'étude d'une géométrie au point 

 de vue qui nous occupe maintenant est donc l'élude 

 d'un groupe de mouvement; comme conséquence 

 de l'existence initiale d'un tel groupe, on ne doit 

 alors prendre pour le carré de l'élément linéaire que 

 desformes quadratiques invariantes pour les trans- 

 formations d'un groupe convenable. Cette étude 

 mériterait d'être faite d'une manière complète 

 pour le cas de li'ois dimensions. 



IV 



Entre les considérations précédentes et la géo- 

 métrie infinitésimale des surfaces, la transition est 

 immédiate. L'expression du carré de l'élément li- 

 néaire y joue un rôle essentiel, et les vues de Rie- 

 mann que nous venons d'indiquer ne sont qu'une 

 extension des idées de (iauss relatives à la cour- 

 hure des surfaces. M. Darboux vient de publier 

 les leçons qu'il a consacrées à cette théorie. C'est 

 un véritable monument élevé à la théorie des sur- 

 faces et à l'analyse des équations aux dérivées par- 

 tielles. Lapremière partie du troisième volume vient 

 do paraître '. Les chapitres relatifs aux surfaces 

 applicables seront particulièrement remarqués. On 

 dit, comme on sait, depuis (Iauss, que deux surfaces 

 sont applicables l'une sui- l'autre, quand on peut éta- 

 blir entre les point des deux surfaces une corres- 

 pondance telle que deux arcs correspondants quel- 

 conques aient même longueur. M. Darboux, après 

 Liouville et M. Ronnet, reprend le problème de re- 

 connaître si deux surfaces données sontapplicables 



' (}. Darljniiv, Lerons sur la thiorie (/nu'rale dt'it surfaces. 

 Troi^irmo ])ni'lic, iHTiiiirr f.-Kcu'ulo, ISlMI. 



l'une sur l'autre. En général, quand l'application 

 est possible, elle est déterminée, c'est-à-dire ne 

 dépend pas de paramètres arbitraires. Il n'y a 

 d'exception que pour les surfaces à courbure cons- 

 tante et les surfaces applicables sur les surfaces 

 de révolution. Signalons encore ce beau problème 

 posé et résolu par M. Darboux : une surface étant 

 donnée ainsi qu'une courbe tracée sur elle, peut-on 

 dèformerla surface de manière que la courbe vienne 

 coïncider avec une courbe donnée dans l'espace ? 

 Le problème est toujours déterminé, quand la 

 courbure en chaque point de la seconde courbe 

 n'est pas égale à la courbure géodésique (sur la 

 surface) de la première au point correspondant, ré- 

 sultat remarquable qui se rattache aux parties les 

 plus élevées de la théorie des équations aux dé- 

 rivées partielles du second ordre. 



Parmi les surfaces jouissant de quelques proprié- 

 tés spéciales relatives à la courbure, les surfaces à 

 courbures constante et les surfaces minima ont 

 fait l'objet de travaux extrêmement nombreux. On 

 ne sait pas encore trouver aujourd'hui toutes les 

 surfaces à courbure constante, mais les recherches 

 de MM. Lie, Rlanchi et Darboux ont appris à en 

 trouver un très grand nombre. L'intégration de 

 l'équation des surfaces minima, c'est-à-dire des 

 surfaces pour lesquelles les rayons de courbure 

 sont en chaque point égaux et de signes contraires, 

 a été effectuée il y a longtemps. Assez récemment, 

 les travaux de Weierstrass, Lie et Schwnrz ont 

 donné une nouvelle impulsion à l'étude de ces sur- 

 faces. Toutefois le problème initial de cette théorie 

 est loin d'être complètement résolu. Prenant dans 

 l'espace une courbe fermée, Lagrange s'est demandé 

 quelle est la surface passant par cette courbe et 

 sur laquelle l'aire limitée par cette courbure est 

 minima : il a montré que cette surface devait avoir 

 en chaque point ses rayons de courbure égaux et 

 de signes contraires. La recherche effective des 

 surfaces minima passant par un contour fermé 

 donné n'a encore été faite que dans des cas parti- 

 culiers qui ont été magistralement exposés par 

 M. Darboux dans le premier volume de l'ouvrage 

 cité plus haut. La solution expérimentale du pro- 

 blème est facile. Il suffit, comme l'a fait Plateau, 

 de plonger le contour dans un liquide glycérique; 

 quand on sort ce cadre du liquide, une lame mince 

 reste adhérente : c'est une surface minima. 



Je termine ici cette rapide revue ; si incomplète 

 qu'elle soit, elle suffira, j'espère, à montrer quelle 

 est l'activité de la pensée mathématique. Je vou- 

 drais aussi avoir réussi à montrer, sous la variété 

 des sujets, l'unité de cet ensemlile que l'on appelle 

 les sciences mathématiques. 



Em. Picard, 



