MAURICE LEVV 



L'HYDRODYNAMIQUE MODERNK 



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pendant la même période; ce second rapport a été 

 lirésenté à la session de 1882. 



Pour compléter ces indications générales, je dois 

 mentionner un travail historique très bien fait, 

 publié en France, par M. Brillouin, dans un recueil 

 d'un haut intérêt, quoiqu'en raison de son origine 

 récente, il n'aie pas encore toute la notoriété qu'il 

 mérite et qu'il acquerra : les AnnaleajU la Faculté 

 des Sciences de Toulouse. Le travail de M. Brillouin 

 se trouve dans le volume de 1883. 



11. — UYIIKOCI.NKMATIOI'E 



o. Les progrès accomplis en Hydrodynamique 

 sont, les uns, — et ceue sont pas les'moins impor- 

 tants, — d'ordre purement cinématique, et les 

 autres d'ordre mécanique. 



La Cinématique des fluides, ou plus générale- 

 ment la Cinématique des matières continues, a été, 

 comme tant de branches de la science, fondée, de 

 toutes pièces, par Cauchy. 



Cauchy a montré que, par le seul fait de la con- 

 tinuité supposée à un lluide, de la continuité et 

 de l'uniformité supposées aux vitesses de ses dif- 

 férents points, découlent, dans la répartition de ses 

 vitesses autour de chaque point, des propriétés 

 générales et rigoureuses de même nature que celles 

 qu'enseigne la théorie de la courbure des surfaces. 



Elles se classent en deux espèces : celles qui se 

 rapportent à la déformation de chaque particule in- 

 liniment petite de fluide, et celles qui se rapportent 

 à son mouvement absolu. 



Si l'on considère, à un instant donné, tous les élé- 

 ments linéaires fluides de longueurs inliniment 

 petites, issues d'un point d'un fluide en mouve- 

 ment, leurs vitesses de dilatations ainsi que les vi- 

 tesses avec lesquelles varient les angles qu'ils font 

 entre eux, s'expriment rigoureusement à l'aide 

 d'une certaine fonction du second <legi'é des cosi- 

 nus de leurs directions, cette fonction du second 

 degré jouant exactement le même rôle que l'indi- 

 catrice dans la théorie de la courbure des surfaces. 



Il existe, à chaque instant et en chaque point 

 d'un fluide en mouvement, trois directions rectan- 

 gulaires et, en général, seulement trois, qui pos- 

 sèdent cette propriété : que les vitesses avec les- 

 quelles varient les angles des éléments fluides 

 placés suivant ces directions sont rigoureusement 

 nulles ou, si l'on veut, que pendant un teriips infi- 

 iriment petit (/^ le trièdre trirectangle que forment 

 ces éléments reste trirectangle (aux infiniment 

 petits près de l'ordre de di-]. 



Si, à présent, on envisage les rotations angu- 

 laires des éléments linéaires issus d'un point, il 

 résulte de ce qui vient d'être dit que les trois 

 arêtes et, par suite, les trois faces de ce petit 

 li'ièdre trirectangle fluide, ont, à l'instant consi- 



déré, rigoureusement la même vitesse angulaire, 

 comme si ce trièdre était solide. 



De plus, il se trouve que deux éléments linéaires 

 symétriques par rapport à l'une des faces de ce 

 trièdre on{, relativement au trièdre, des vitesses égales 

 et opposées ou, en moyenne, nulles. 



Voilà pourquoi Cauchy a appelé la rotation du 

 trièdre : rotation moyenne du fluide au point et à 

 l'instant considérés ^ 



On peut aussi donner de la rotation moyenne 

 une définition mécanique : ce serait la rotation que 

 prendrait une sphère fluide de rayon infiniment 

 petit décrite autour du point considéré comme 

 centre, si elle venait à être brusquement solidifiée. 



C'est cette rotation qu'Ilelmholtz a appelée un 

 tourbillon (Wirliel) ou une rotation moléculaire. 



Ainsi, un mouvement non tourbillonnaire est 

 celui où ces rotations sont nulles -. 



6. Un mouvement peut être tourbillonnaire dans 

 une partie d'un fluide et non tourbillonnaire dans 

 une autre, parce que le mouvement d'un fluide est 

 continu si les composantes des vitesses sont des 

 fonctions continues, alors même que leurs dérivées 

 partielles premières et, par suite, les composantes 

 des rotations moléculaires, présenteraient des dis- 

 continuités. 



Les vitesses elles-mêmes peuvent en présenter, 

 ainsi qu'on le dira plus loin. 



7. Ces préliminaires posés, si l'on veut avoir une 

 idée exacte des progrès accomplis sur ce point 

 fondamental de l'Hydrocinématique, il faut 're- 

 monter à Lagrange. 



Lagrange, dans la Mécanique analytique, a lon- 

 guement insisté sur un théorème qui, aujourd'hui, 

 s'énoncerait ainsi : Si, en un point d'un fluide en 

 mouvement, la rotation moyenne est nulle à un 

 certain instant, elle est nulle toujours; ou, sous 

 une forme moins rigoureuse, mais peut-être plus 

 conipréhensive : mie particule fluide qui ne tourne 

 jMS à un certain instant, ne tournera jamais. 



On sous-entend dans cet énoncé : 1" que les 

 forces agissantes sont conservatives ou dérivent 

 d'une fonction de forces; 2° qu'il existe une rela- 



I .Si l'on désigne p;tr f, r„ ç, les cuiiipusuntcs de celte rola- 

 liun; p:ir «, v, w, les composantes de la vitesse au morne 

 point, par x, y, a, les coordonnées de ce point à l'instant 

 considéré, Cauchy a montré qu'on a simplement : 





-i: 



2' =. a 





- C'est-à-dire im mouvement tel que les composantes rec- 

 tangulaires M, V, w, de la vitesse soient les dérivées partielles 

 d'une mémo fonction de x, y, z, t, appelée fonction ou potentiel 

 des vitesses. 



