7-24 



MAURICE LEVV. — L'HYDRODYNAMIQUE MODERNE 



lion entre la pression et la densité du fluide, con- 

 ditions dynamiques généralement remplies, la 

 première exactement, la seconde plus ou moins 

 approximativement et qui, ensemble, se tradui- 

 sent parcelle condition cinématique que les accé- 

 lérations dérivent d\\nt' foncfion d'accéléraiions. 



8. La démonstration que Lagrange a donnée de 

 ce théorème permettait de croire qu'il peut être 

 sujet à d'innombrables exceptions. C'est encore à 

 Cauchy que revient Thonnour de l'avoir établi 

 d'une façon définitive. 



Ce théorème est capital en ce que, parmi les élé- 

 ments purement miématiques d'un fluide en mouve- 

 ment, il en fait découvrir un : à savoir la rotation 

 moléculaire, qui est indestructible par les forces de 

 la nature, par les forces conservât! ves qui agissent 

 sur le fluide, aussi bien que par les pressions de 

 celui-ci. Si la rotation n'existe pas. elle ne naîtra 

 pas, et, si elle est née, elle subsistera. Elle ne peut 

 naître ou s'éteindre que par des chocs brusques, 

 par des forces impulsives. 



Un être qui possède de telles propriétés ne sau- 

 rait être sans importance dans la nature . 



Du temps de Lagrange, on ne connaissait que la 

 masse qui les possédât : depuis, Sadi Carnot et 

 Robert Mayer ont découvert que l'énergie les pos- 

 sédait aussi. Mais qu'un être purement géomé- 

 trique, purement cinématique les possède à son 

 tour, cela est nouveau et inattendu. Est-ce le pré- 

 sage lointain de cette ère souvent prédite où les 

 notions de force et de masse disparaîtront et où 

 la Cinématique prendra la place de la Mécanique? 

 En tous cas, on voit combien ce théorème de La- 

 grange est suggestif, et combien il était utile que 

 Cauchy vint en établir la certitude absolue. 



Plus tard, en 1846, une autre démonstration en 

 a été donnée par StoUes. 



9. Mais ce n'est qu'en 1858 qu'il est sorti de 

 l'ombre et presque de l'oubli, par le mémoire 

 d'Helmholtz : Uler intégrale der Hijdrodynamisehen 

 Gleichungen, welche denWirhelbeicegunyen entsprechen. 



Concevons qu'à un instant donné, au sein d'un 

 fluide animé d'un mouvement tourbillonnaire, on 

 mène par chaque point du fluide une ligne tan- 

 gente en tous ses points à l;i rotation moléculaire 

 en ce point'. 



Nous appellerons ces lignes des ligim toiirhilloii- 

 naires [Wirlcllinien). 



Si, par tous les points (rime courlje C on mène 

 des lignes tourbillonnaires, on obtient une surface 

 tourhillonnaire dont la courbe C est la directrice. 



Si la directrice est une courbe fermée de dimen- 



1 Ces limos sonl ilcCuiics jiar l.'s riniatioiis dillV'ivulii'll.'s 

 ,/,■ d;/ ilz 



sions infiniment petites, on obtient une surface 

 tubulaire. Le fluide qu'elle renferme sera appelé 

 un tube ou un filet tourbillonnaire. 



Cela dit, Helmholtz a montré : 



1° Que tout tube tourbillonnaire se compose 

 perpétuellement des mêmes particules fluides ; 



2° Que l'intensité d'un tube tourbillonnaire, 

 c'est-à-dire le produit de la section transversale 

 en l'un de ses points par la rotation en ce point 

 est constante dans toute l'étendue du tube. 



De cette dernière propriété il résulte que les 

 lignes tourbillonnaires ne peuvent pas s'arrêter à 

 l'intérieur du fluide; qu'elles sont fermées ou se 

 prolongent jusqu'à la surface ou jusqu'aux parois 

 qui le limitent; 



3" Que l'intensité d'un tube tourbillonnaire, déjà 

 constante, à un instant donné, comme nous venons 

 de le dire, dans toute la longueur du tube, reste 

 aussi, pour ce tube, invariable avec le temps, 



De ces propositions, la seconde est, en quelque 

 sorte, de définition '; les autres sont établies 

 comme le théorème de Lagrange, en admettant 

 l'existence d'une fonction d'accélération. 



10. On peut se demander si l'existence de cette 

 fonction, qui est suflisante pour que les théorèmes 

 1° et 3° soient vrais, est aussi nécessaire. 



11 est aisé d'établir, à cet égard, les propositions 

 suivantes : 



Convenons, pour un instant, d'appeler accélé- 

 ration rotatoire une ligne formée, avec les compo- 

 santes de l'accélération d'un point d'un fluide, 

 comme la rotation moléculaire l'est, en vertu des 

 équations (1), avec les composantes de sa vitesse. 

 Alors on a ces deux propositions : 



«) Pour qu'un élément d'une ligne tourbillon- 

 naire contienne toujours, pendant son mouvement, 

 la même matière fluide, il faut et il suffit que la 

 rotation moléculaire de cet élément coïncide en 

 direction avec son accélération rotatoire ; 



b]. Pour que son intensité ne varie pas avec le 

 temps, il faut et il suffit que ces deux lignes soient 

 perpendiculaires; 



c) Donc pour que les deux propriétés existent 

 l'une et l'autre, il faut et il suffit que l'accéléra- 

 tion rotatoire soit nulle, c'est-à-dire que les com- 

 posantes de l'accélération soient les dérivées par- 

 tielles d'une même fonction. 



11. Ainsi, si cette dernière condition est remplie, 

 i(> que nous supposerons désormais, des lignes 

 lourbillonnaires en nombre fini ou non, c'est-à- 

 dire isolées ou continues placées dans un milieu 

 lluide non tourbillonnaire, y conservent indé- 



1 KUe ix'suUo de l'idenlité : 



