MAURICE LÉVY. — L'HYDRODYNAMIQUE MODERNE 



finiment leur individualité et leurs intensités. 



Elles nagent dans le fluide comme ferait un 

 corps déformable. 



Elles influent naturellement sur leurs mouve- 

 ments réciproques et sur le mouvemenl du surplus 

 du fluide. 



Helmhollz a encore montré que si le fluide oc- 

 cupe l'espace illimité, chaque élément tourbillon- 

 naire A produit en un point B placé à distance 

 finie de lui, une vitesse égale en grandeur, direc- 

 tion et sens à l'action qu'un élément de courant 

 électrique de même intensité que l'élément tour- 

 billonnaire A exercerait sur un pôle magnétique 

 placé en B. 



Ces propriétés facilitent considérablement l'é- 

 lude des lignes tourbillonnaires, surtout de celles 

 qui sont isolées 



Cependant la difficulté de les constituer de façon 

 ([ue les composantes de l'accélération soient réel- 

 lement, comme on le suppose, des dérivées par- 

 tielles, reste entière et, sauf pour les tourbillons 

 isolés où elle est plus abordable, pourvu toutefois 

 qu'on se contente d'une première approximation, 

 elle est très grande. 



M. Helmholtz a étudié des cas de tourbillons 

 rectilignes et parallèles répondant à des mouve- 

 ments plans d'un fluide incompressible. 



Un seul tourbillon de cette nature reste sensi- 

 blement fixe. 



S'il y en a deux, ils tournent uniformément autour 

 de leur centre de [liante qui reste fixe, le centre de 

 gravité étant obtenu en leur attribuant des masses 

 égales à leurs intensités. 



Si celles-ci sont égales et contraires, les deux 

 tourbillons prennent une translation commune. 



Kirchhotïa montré qu'on peut aussi résoudre le 

 problème relatif à trois totirbillons. 



Le professeur Greenhill, par une application des 

 plus ingénieuses de la méthode des images, a résolu 

 des problèmes relatifs à des tourbillons rectilignes 

 dans des milieux non plus illimités en tous sens, à 

 savoir : 1° dans un milieu limité par deux parois 

 formant un angle qui soit une partie aliquote de la 

 circonférence; 2' dans un milieu contenu entre 

 parois rectangulaires. 



Dans le premier cas, la formule de Cotes fournit 

 une solution finie extrêmement élégante. 



Dans le second, la solution est fournie par les 

 fonctions de Jacobi. 



Comme tourbillons rectilignes en nombre illimi- 

 té, Kirchhoff a étudié le cas d'un cylindre tourbil- 

 lonnaire elliptique. Sa surface libre tourne uni- 

 formément autour de son axe pendant que les 

 points intérieurs décrivent des ellipses homotlié- 

 tiques à la section droite de cette surface, en 

 obéissant à la loi des aires. Cette définition plus 



simple que celle de Kirchhofl'cst due à M. Brillouin. 



12. Helmholtz a également étudié le cas d'un 

 tourbillon circulaire unique dans un fluide qui se 

 meut symétriquement autour de l'axe de la circor- 

 férence du tourbillon. 



Un tel tourbillon ne modifie pas sensiblement 

 son rayon, mais se meut avec une très grande vi- 

 tesse parallèlement à l'axe. 



On peut voir, presque sans calcul, en s'aidant 

 des règles qui précèdent, que deux tourbillons cir- 

 culaires de mêmes sens se meuvent dans le même 

 sens, parallèlement à leur axe commun, celui 

 d'arrière marchant plus vite et son rayon dimi- 

 nuant, celui d"avant marchant moins vite et son 

 rayon croissant, de telle sorte qu'ils se dépassent 

 alternativement en passant l'un dans l'autre. 



Mais ces résultats ne constituent qu'une pre- 

 mière approximation, et l'étude détaillée de ces 

 tourbillons en forme de tore, soit au point de vue 

 de leurs mouvements, soit au point de vue de leur 

 stabilité, est extrêmement difficile et a donné lieu 

 à d'importantes recherches dues notamment à 

 \V. Thomson, à J. J. Thomson et à Hieks. 



13. Le mouvement tourbillonnaire le plus sim- 

 ple qu'on puisse imaginer est celui d'un liquide 

 tournant uniformément autour d'un axe, ou, si 

 l'on veut, en équilibre relatif par rapport à des 

 axes animés d'un tel mouvement de rotation. 



On serait ainsi amené; comme cas particulier 

 de l'étude de ces mouvements, au problème des 

 ellipsoïdes ou autres figures d'équilibre au sujet 

 desquelles on doit de si beaux résultats à M. Poin- 

 caré. 



On peut aussi généraliser la partie du problème 

 relative aux surfaces ellipsoïdales en cherchant un 

 mouvement ayant une surface libre de cette forme, 

 cette surface tournant autour d'un axe pendant 

 que les points intérieurs se meuvent relativement 

 à elle. Il existe un mémoire très intéressant de 

 Clebsch sur ce sujet. 



III. — MOUVEMENT DE CORPS OU riE TOURBILLONS DANS 

 UN FLUIDE NON TOURBILLONNAIRE. 



1 i. Le problêmedu mouvement d'un ou plusieurs 

 corps accompagnés ou non de Vorlires ou tourbil- 

 lons n'offre plus aujourd'hui de difficulté, au point 

 de vue de la mise en équation ; on peut y appliquer 

 les méthodes généralesde Lagrangeet d'Hamilton; 

 on peut aussi, surtout quand il s'agit d'un seul 

 corps, employer les principes les plus élémen- 

 taires de la Dynamique des corps solides. 



Mais l'intégration des équations obtenues est très 

 difficile. 



Les difficultés sont très différentes suivant qu'on 

 se borne au point do vue cinématique dont j'ai 

 parlé plus haut, ou f[u'op veuille traiter le pro- 



