MAURICE LEVY. — L'HYDRODYNAMIQUE MODERNE 



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sistance qu'elle éprouve. Elle se meut avec une 



1 + £ 



accélération verticale ; = n — —— , s étant la ilen- 



site de la sphère rapportée à celle du fluide. 



La résistance totale qu'elle éprouve est égale au 

 poids du volume d'eau qu'elle déplace multiplié 



par le nombre . 



La répartitionde cette pression sur les différents 

 points de la sphère est aussi donnée par une for- 

 mule simple. 



-4" Pour l'ellipsoïde, le problème se résout ég'a- 

 lement. Les vitesses dérivent du potentiel d'une 

 couche de matière comprise entre deux surfaces 

 ellipsoïdales. 



11 serait difficile, dans un article comme celui-ci. 

 de préciser les méthodes suivies et d'indiquer 

 un grand nombre d'autres résultats très intéres- 

 sants, mais se prêtant moins bien à des émuicés 

 en langage ordinaire. 



IV. — ÉQUATIONS CÉ.NKHALES DK l'iI VliHODVNAMUll'l': 



10. En dehors des deux grandes questions dont 

 je viens surtout de parler, d'autres éludes ont été 

 faites, notamment sur les équations générales de 

 l'Hydrodynamique, les mouvements discontinus, 

 Iss mouvements infiniment petits, etc. 



Les deux formes classiques des équations difFé- 

 rentielles de l'Hydrodynamique sont connues sous 

 les noms d'Euleret de Lagrange, quoique Euler les 

 eîit données les unes et les autres en 1753 et 1737 

 et que, d'autre part, les unes et les autres aussi 

 aient été données plus lard par Lagrange dans la 

 mécanique analytique. 



Dans celles dites d'Euler on prend comme in- 

 connues les composantes u. v, ir, de-la vitesse d'un 

 point et la pression p du fluide en ce point, consi- 

 dérées comme fonctions du temps t et des coor- 

 données I, y, z du point auquel elles se rapportent. 



Ces fonctions inconnues sont définies par un 

 système de quatre équations à dérivées partielles 

 du premier ordre et certaines conditions initiales 

 et à la surface. (On admet qu'il est donné une rela- 

 tion entre la pression et la densité du fluide, si 

 celui-ci n'est pas incompressible.) 



Si l'on veut ensuite, ce qui, dans la pratique, n'est 

 pas toujours nécessaire, avoir, en termes finis, 

 les équations du mouvement, c'est-à-dire celles 

 qui donnent la position de chaque point en fonc- 

 lion du temps et de sa position initiale, il faut 

 encore intégrer un système de trois équations 

 différentielles ordinaires '. 



sont les suivaiil 



Cette intégration est l)eaucoup facilitée par les 

 théorèmes d'Helmholtz sur les tourbillons. 



Dans les équations de Lagrange on prend di- 

 l'ectement pour inconnues, avec la pression, les 

 coordonnés x, y, z de chaque point du fluide, con- 

 sidérées, aussi bien que la pression, comme fonc- 

 tions du temps et de la position initiale du point. 

 On a alors, entre les quatre fonctions inconnues 

 ■r. y. r. j). quatre équations à dérivées partielles, 

 dont l'une, celle dite de continuité, du |iremier 

 ordre, les trois autres du second. 



Déjà Cauchy. dans le mémoire plusieurs fois cité 

 sur la théorie des ondes, a, d'un trait de plume, in- 

 diqué, dans le cas supposé où les composantes des 

 accélérations sont des dérivées partielles, trois 

 intégrales intermédiaires ou du premier ordre, des 

 équations de Lagrange en en éliminant la pression. 

 C'est à l'aide de ces intégrales que le grand géo- 

 mètres a établi le théorème de Lagiange dont il a 

 été parlé plus haut. Etudiées d'un peu plus 

 près, on voit qu'elles contiennent les théorèmes 

 d'Helmholtz sur les tourbillons. Ces théorèmes et 

 les intégrales de Cauchy ne peuvent exprimer et 

 n'expriment, en effet, qu'une seule et même chose. 

 Mais cette chose, personne avant Helmholtz ne 

 l'avait aperçue. 



En 1808. Weber a fait un pas de plus que Cau- 

 chy : il a nettement remplacé les trois équations 

 du second ordre de Lagrange par trois équations 

 du premier ordre, sans éliminer la pression, mais 

 en la remplaçant par une autre fonction inconnue, 

 de sorte que l'on a, enti'e les coordonnées incon- 

 nues, X. y. z. et la nouvelle .fonction inconnue te- 

 nant lieu de la pression, quatre équations à déri- 

 vées partielles, toutes du premier ordre comme 

 dans les équations d'Euler. Et si l'on peut les in- 

 tégrer, on a non seulement les vitesses comme 

 dans les équations d'Euler, mais aussi la position 

 du fluide à chaque instant. 



Si l'on élimine la pression ou la nouvelle fonction 

 inconnue qui en lient lieu, on i-etrouve les équa- 

 tions de Cauchy. 



17. Quand on veut résoudre ce prol)lème d'Ily- 

 drocinématique : trouver les équations différen- 

 tielles du mouvement tourbillonnaire le plus gé- 

 néral possible, dans lequel les accélérations dé- 

 rivent d'une fonction, il faut précisément élimi- 

 ner la pression et, avec elles, se trouve éliminée 

 la fonction des forces, laquelle, dans le problème 

 ainsi posé, reste arbitraire. Or, soit qu'on fasse 

 cette élimination à l'aide des équations d'Euler, ou 

 à l'aide des équations de Lagrange. Cauchy ou 

 Weber, on a toujours une équation de plus que le 

 nombre des inconnues. 



On a quatre équations, dont l'une est celle de 

 continuité, lundis qu'on n'a ]iliis ijue trois incon- 



