H. POIXCAHE. — LK l'HUBLÈME UbiS THUIS CUlil'S 



mander au calcul plus de piécision qu'aux obser- 

 vations, mais on ne doit pas non plus lui en 

 demander moins. Aussi l'approximation dont nous 

 pouvons nous contenter aujourd'luil deviendra- 

 t-elle un jour insuflisaiite. Et, en effet, en admettant 

 même, ce qui est très impro])al)le, que les insti'u- 

 ments de mesure ne se perfectionnent plus, l'accu- 

 mulation seule des observations pendant plusieurs 

 siècles nous fera connaître avec ])lus de pi'écision 

 les coelficients des diverses inéj^alités. 



On peut donc prévoir le momentoii les niétiiodes 

 anciennes, malgré la perfection que leur a donnée 

 Le Verrier, devront être abandonnées définitive- 

 ment. Nous ne serons pas pris au dépourvu. 

 Delaunay, Hill, (îyldén, Lindstedt ont imaginé de 

 nouveaux procédés d'approximation successive 

 plus rapides et plus satisfaisants à tous égards que 

 les anciens; en particulier, ils se sont affranchis 

 de l'inconvénient que je signalais plus haut. 



Les développements auxquels ils parviennent 

 pourraient même être regardés comme une solu- 

 tion complète du problème des trois corps, si la 

 convergence en était établie. Il n'en est malheu- 

 reusement pas ainsi. 



Faute de cette convergence, ils ne peuvent pas 

 (binner une approximation indéfinie; ils donne- 

 ronl plus de décimales exactes que les anciens 

 procédés, mais ils n'en donneront pas avitant 

 (|u'on voudra. Si on l'oubliait, on serait conduit à 

 des conséquences erronées. On en serait vile averti, 

 d'ailleurs, car ces conséquences ne seraient pas les 

 mêmes, selon qu'on appliquerait les méthodes de 

 Delaunay ou celles de Lindstedt, et ces contradic- 

 tions sulliraieul pour montrer qu'un au moins des 

 deu\ (léveliip|icnieiils n'est pas convergent. 



Il 



Ne peut-on cependant établir aucun résultat re- 

 latif au mouvement des trois corps avec celte 

 absolue rigueur îi laquelle les géomètres sont liabi- 

 tués? S'il est possible d'en découvrir, ne pourrait- 

 on y trouver un terrain solide sur lequel on s'ap- 

 puiei'ait pour marcher à de nouvelles conquêtes? 

 N'aui'ait-on j)as ouvert une brèche qui permettrait 

 il'enlrei' enfin dans la fortei-esse? On ne peut s'em- 

 |)èclier(le le penser, et c'est ce qui donne quelque 

 prix aux rares théorèmes sus('eptil)l(!S d'une dé- 

 monstration rigoureuse, (iiiaml même ils ne 

 si'mblentpas immédialemenl M|iplii'ables à l'aslro- 

 nomie. 



Telles sont les jjropi'iêtés des solutions particu- 

 lières remarquables du problème des trois corps. 



Le mouvement des trois astres dépend en elTet 

 de leurs positions et de leurs vitesses initiales. 

 Si l'on se donne ces conditions initiales du moiixe- 



ment, on aui'a défini une solution particulière du 

 problême. 11 peut se faire que quelques-unes de 

 ces solutions particulières soient plus simples, 

 plus abordables au calcul, que la solution géné- 

 rale; il peut se faire (|ue pour certaines posi- 

 tions initiales des trois ccjrps. les lois de leur 

 mouvement présentent des |proj)riétr'S i-emai- 

 quables. 



Parmi ces soluti(jns particulières, les unes ne 

 sont intéressantes que pai' leur bizarrerie; les 

 auli'es sont, comme nous le verrons, susceptibles 

 d'applications astronomiques. Lagrange et Laplace 

 ont déjà abordé le problème par ce côté, et ils ont 

 découvert ainsi un théorèiue important. Il peut 

 arriver que les orbites des trois corps se réduisent 

 a des ellipses. La position et la vitesse initiales de 

 notre satellite auraient pu être telles, que la Lune 

 fût constamment pleine; elles auraient pu êti'e 

 telles que la Lune filt constamment nouvelle; 

 elles auraient pu aussi être telles que cet astre 

 fiU constamment à 60° du Soleil dans une phase 

 intermédiaire entre la nouvelle lune et le premier 

 quartier. 



Ce sont là des solutions particulières très siiuples , 

 il y en a de plus compliquées qui sont cependant 

 remai-qualrles. Si les conditions du UKjuvement 

 avaient été différentes de ce qu'elles sont, les 

 phases auraient pu suivre des lois bien étranges; 

 dans une des solutions possibles, la Lune, d'abord 

 nouvelle, commence par ci'oitr-e; mais, avant d'at- 

 teindre le premier quartier, elle se met à dé- 

 croître pour i-edevenir nouvelle et ainsi de suite ; 

 elle a donc constamment la forme d'un croissant. 

 Dans une autre solution, plus étrange encore, elle 

 passe trois fois par le premier (|uartier entre la 

 nouvelle lune et la pleine lune; dans cet inter- 

 valle, elle croit d'abord, décroît ensuite, pour se 

 mettre de nouveau à croître. 



Ces solutions sont trop diflerentes des véritables 

 trajectoires des astres, pour pouvoir jamais être 

 réellement utiles à l'Astronomie. Elles n'ont qu'un 

 intérêt de curiosité. Il n'en est pas de même de 

 celles dont je vais maintenant pai'lcr. 



Il y a d'abord les solutions jjériodù/ucs. Ce sont 

 celles oii les distances des trois corps sont des 

 fonctions périodiques du temps; à des intervalles 

 périodiques, les trois corps se retrouvent donc 

 dans les mêmes positions relatives. Les solutions 

 périodiques sont de plusieurs sortes. Dans celles 

 que j'ai appelées de la première sorte, les inclinai- 

 sons sont nulles et les trois corps se meuvent dans 

 unmèmeplan; les excentricités sont trèspetites et 

 les orbites sont presque circulaires; les moyens 

 mouvements ne sont pas commensurables; les 

 deux planètes passent en même temps au périhélie, 

 qui. loin d'être fixe, tourne avec une rajiidité coin- 



