H. POINCARÉ. — LE PROBLÈME DES TROIS CORPS 



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jiarahU' à celle des planètes elles-mêmes, de lelle 

 façon que ces deux astres sont au périhélie à 

 chaque conjonction. C'est à cette catégorie ([u'ap- 

 partient la première solution périodique qui ait 

 été découverte et que son inventeur, M. HiU, a 

 prise pour point de départ de sa lliéorie de la 

 Lune. 



Dans les solutions de la seconde sorte, les incli- 

 naisons sont encore nulles, mais les exentricités 

 sont finies; le mouvement du périhélie est très 

 lent; les moyens mouvements sont près d'être com- 

 mensurables; les périodes anomalistiques 'ou 

 appelle ainsi le temps i[ui s'écoule entre deux 

 passages consécutifs de l'astre au périhélie), le 

 sont exactement. A certaines époques, deux pla- 

 nètes passent en même temps au périhélie. Dans 

 les solutions de la troisième sorte les inclinaisons 

 sont finies, les orbites sont presque circulaires; le 

 mouvement des périhélies est ti'ès lent et égal à 

 celui des nœuds; les périodes anomalistiques sont 

 commensurables; à certaines époques les planètes 

 passent en même temps, aux périhélies. Je laisse de 

 C('ité de nombreuses catégories de solutions pério- 

 diques plus compliquées et qu'il serait trop long 

 d'énumérer. 



Il y a ensuite les sohifionn asymptotiques. Four iiicn 

 faire comprendre ce qu'on doit entendre par là, 

 qu'on me permette d'employer un exemple simple. 

 Imaginons d'abord une Terre et un Soleil isolés 

 dans l'espace, se mouvant i)ar conséquent d'api'ès 

 les lois de Kepler, Supposons encore pour simpli- 

 fier, que leur mouvement soit circulaire. Donnons 

 maintenant à cette Terre deux satellites L, et L^ 

 dont la masse sera infiniment petite de telle s<irle 

 qu'ils ne troubleront pas le mouvement circulaire 

 de la Terre et du Soleil, et qu'ils ne se troubleront 

 pas non plus mutuellement, chacun d'eux se mou- 

 vant comme s'il était seul. Choisissons la position 

 initiale de L, de façon que cette Lune décrive une 

 orbit'j périodique; nous pourrons alors choisircelle 

 de L^ de façon que ce second satellite décrive ce 

 que nous appellerons une orbite asymptotique. 

 D'abord assez éloignée de L,. il s'en rapprochera 

 indéfiniment, de sorte qu'après un temps inlini- 

 ment long, son orbite différera infiniment peu de 

 celle de L,. Supposons un observateur placé sur la 

 Terre et tournant lentement sur lui-même de façon 

 à regarder constamment le Soleil. Le Soleil lui pa- 

 raîtra inimoliile et la Lune L, dont le mouvement 

 est périodique lui semblera décrire une courbe 

 fermée C. La Lune L^ décrira alors pour lui une sorte 

 de spirale dont les spires de plus en plus serrées 

 se rapprocheront indéfiniment de la courbe C 11 y 

 aune infinité de pareilles orbites asymptotiques. 

 L'ensemble de ces orbites forme une surface conti- 

 nue S qui passe par la courbe C et sur laf[uelle 



sont tracées les spires dont je viens de parler'. 



Mais il y a une autre catégorie de solutions 

 asymptotiques. 11 peut arriver, si l'on choisit con- 

 venablement la position initiale de L,, que cette 

 Lune aille en s'éloignant de Lj, de telle façon qu'à 

 une époque très reculée dans le passé, son orbite 

 ditïère très peu de celle de h^. Pour notre obser- 

 vateur, ce satellite décrira encore une courbe en 

 spirales dont les spires se rapprocheront indéfini- 

 ment de la courbe C; mais il la décrira en sens 

 contraire en s'éloignant constamment de C. L'en- 

 semble de ces nouvelles orbites asymptotiques 

 formera une seconde surface continue S' passant 

 également par la courbe 1). 



Enfin il y a une infinité de solutions doubleiiienl 

 asymptotiques; c'est là un point que j'ai eu beau- 

 coup de peine à établir rigoureusement. Il peut 

 ari'iver que le satellite L^, d'abord très rapproché 

 de l'orbite de L,, s'en éloigne d'abord beaucoup et 

 s'en rapproche ensuite de nouveau indéfiniment. 

 A une époque très reculée dans le passé, cette 

 Lune se trouvait sur la surface S', et y décrivait 

 des spires en s'éloignant de C; elle s'est ensuite 

 beaucoup éloignée de C; mais dans un temps très 

 long elle se retrouvera sur la surface S et décrira 

 de nouveau des spires en se rapprochant de C. 



Soient L,, L,, . . . , L„, n — 1 lunes décrivant des 

 orbites doublement asymptotiques; aune époque 

 reculée, ces n — 1 lunes se meuvent en suivant 

 des spirales sur S' ; en parcourant cette surface 

 on l'encontre ces n — 1 orbites dans un certain 

 (U'dre. Au bout d'un tenijis très long, nos satellites 

 se retrouveront sur S et décriront de nouveau des 

 spirales; mais, en parcourant cette surface S, ou 

 rencontrera lesorbilesdesH — llunesffeHS wi ordre 

 tout différent. Ce fait, pour peu qu'on prenne la 

 jieine d'y rétléchir, semblera une preuve éclatante 

 de la complexité du problême des Trois corps et 

 de l'impossibilité de le résoudre avec les instru- 

 ments actuels de l'.Vnalvse. 



III 



L'astronomie ue nous oli're aucun exemple d'un 

 système de trois ou de plusieurs corps dont les 

 conditions initiales du mouvement soient telles 

 qu'ils décrivent exactement des orbites pério- 

 diques ou asymptotiques. D'ailleurs a priori la 

 pi'obabilité pour que cette circonstance se pré- 

 sentât était manifestement nulle. On ne peut pas 

 en conclure que les considérations précédentes ne 

 sont intéressantes que pour le géomètre et inutiles 



' Il peut arriver, si l'inclinaison des orbites est nulle, 

 que S se réduise à une surface inlininicnt njdade, formée de 

 l)lusieurs feuillets plans superposés, et an^ilcigiics :ius surfaces 

 de Riemann. 



