J. TANNERY. 



LES LEÇONS DE (iÉOMËTRIE DE M. DARBOUX 



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déjà considérable : deux volumes et un fascicule 

 ont paru : on ne sait trop ce qu'il y faut admirer 

 davantage, ou les recherches propres à l'auteur, 

 ou l'extraordinaire richesse des informations, ou 

 l'élégance toute personnelle avec laquelle sont 

 exposés les travaux des autres, ou l'art de l'expo- 

 sition, ou la hauteur des vues, ou l'abondance el 

 l'intérêt propre des applications. 11 ne saurait être 

 question ici d'un compte rendu détaillé de l'œuvre 

 de M. Darboux : la matière est trop spéciale ; je me 

 contenterai d'en indiquer rapidement les grandes 

 lignes. 



Le premier 'volume débute par l'élude appro- 

 fondie du déplacement d'un trièdre trirectangle ; 

 cette élude, qui appartient à la cinématique, do- 

 mine en fait une bonne partie de l'exposition 

 adoptée par M. Darboux et permet de rapporter 

 à une origine commune et d'obtenir avec une rare 

 élégance les formules de la théorie générale des 

 surfaces : c'est elle en particulier qui conduira, 

 dans le second volume, au groupe de formules 

 fondamenlales dues à M. Codazzi et à toutes celles 

 qui se rapportent au même objet. Cette même 

 étude conduit aussi à la considératfon d'un sys- 

 tème d'équations linéaires du premier ordre dont 

 une intégrale s'obtient en égalant à une constante 

 une fonction homogène el du second degré des 

 inconnues : l'étude de ce système, dont l'intégra- 

 tion dépend d'une équation de Riccati, est aussi 

 impoi-tante en mécanique qu'en géométrie. La 

 définition de quelques surfaces par leurs pro- 

 priétés cinématiques achève de mettre en lumière 

 l'importance géométrique du déplacement d'une 

 ligure de forme invariable. 



Les cooi'données curvilignes sont introduites en 

 prenant pour point de départ la considération des 

 .systèmes conjvijués dont l'importance ressort immé- 

 diatement, parce que la définition de ces systèmes 

 est à la fois projective et dualistique. Une belle 

 application de cette étude consiste à obtenir d'une 

 façon presqu'immédiate les surfaces dont les lignes 

 de courbure sont planes. Aux systèmes conjugués 

 se rattachent immédiatement les lignes asympto- 

 ti([ues, chaque famille de lignes asymptotique 

 étant conjuguée à elle-même. A cette étude se rat- 

 tache aussi étroitement celle des systèmes ortho- 

 gonaux et isothermes et le célèbre problème des 

 cartes géogi'aphiques. Là se trouve mis en évi- 

 dence le rôle essentiel que joue en géométrie la 

 théorie des fonctions d'une variable imaginaire : 

 l'auteur résume à ce propos les belles recherches 

 de M. Schwarz sur la représentation conforme des 

 aires planes. Le système orthogonal fourni par 

 les lignes de courbure est l'objet d'une étude ap- 

 profondie, tant en coordonnées rectilignes qu'en 

 coordonnées tangenlielles : on y pi'évoit déjà en 



particulier, par quelques belles propositions dues à 

 l'auteur, le rôle fondamental que jouera l'équation 

 de Laplace dans la théorie des surfaces. Signalons 

 en passant un intéressant chapitre sur les coor- 

 données pentasphériques, dont l'emploi donne à 

 la théorie analytique des lignes de courbure son 

 véritable fondement : on y trouvera en particulier 

 la belle proposition de M. Sophus Lie, qui rattache 

 les lignes asymptotiques aux lignes de courbure. 

 Ce premier volume se termine par une élude 

 détaillée des surfaces minima. Le beau problème 

 posé par Lagrange intéresse à la fois la phy- 

 sique, la géométrie, la théorie des fonctions d'une 

 variable imaginaire : il a été, dans notre siècle, 

 l'objet d'admirables développements dus à Monge, 

 àLegendre,àRiemann, à M. Bonnet, à M. Schwarz, 

 à M. Sophus Lie, à M. Weierslrass, à M. Bellrami, 

 et à bien d'autres géomètres éminents. Nul autre 

 peut-être ne fait mieux ressortir la mystérieuse 

 unité de la science, nul autre ne s'est trouvé avoir 

 des liens plus étroits avec les progrès récents 

 de l'Analyse, et l'on comprend bien que l'auteur 

 s'y soit attaché avec une sorte de prédilection ; 

 lui-même apporte une contribution capitale au 

 problème étudié expérimentalement par Plateau 

 dans le cas où le contour qui doit limiter la lame 

 mince de liquide glycérique est formé par une 

 chaîne de droites ou de plans, en montrant com- 

 ment ce problème peut être entièrement résolu 

 (juand on sait former le grnq)e d'une certaine équa- 

 tion différentielle linéaire du second ordre. 



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Le second volume conmience par des nolions 

 générales sur les congruences de courbes ou de 

 droites : on y trouvera une élégante interprétation 

 géométrique de cette méthode, due à Laplace, qui 

 transforme l'équation aux dérivées partielles 



^ + %- + S-^+- = "' 



à laquelle le nom de l'illustre astronome est resté 

 attaché, en une double suite d'équations de même 

 forme, dont il suffit de savoir intégrer une pour 

 que l'intégration de toutes les autres s'ensuive 

 immédiatement. Cette double suite est aussi 

 étudiée analytiquement avec détails; M. Darboux 

 donne, en particulier, la forme générale des équa- 

 tions de Laplace pour lesquelles la double suite se 

 ferme d'un côté et de l'autre. M. Moutard avait 

 obtenu des résultats analogues ; mais son mémoire 

 a disparu en 1871 dans les incendies de la Com- 

 mune, et M. Moutard n'a publié depuis, sur ce 

 sujet, que des résultats partiels. Après avoir 

 exposé les principaux résultats obtenus sur un cas 

 particulier très important de l'équation de Laplace 



