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BIBLIOGRAPHIE. 



ANALYSES ET INDEX 



BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques. 



Caiichy. — Œuvres complètes. //" sàie, tome VIII. 



(2;; fr.) Paiis IS'.in. Cdulhicr-Villarf: éditeur, ^r^, quai 



(}(•!! GranJti-Aiiiju:iliiis. 



Ce volume contient les « Exercices de Mathématiques ■ 

 pour rannée 1828. 11 est consacré principalement ù 

 la mécanique des fluides et des solides élastiques ou 

 non élastiques. 



Toutefois la Géométrie y est représentée : d'abord 

 une théorie des cenlrefi, des plans et axes principaux des 

 surfaces du second ordre, où l'on peut admirer une 

 exposition extrêmement simple des propriétés de la 

 classique « Equation en s », ensuite la discussion des 

 lignes et des surfaces du second ordre et enfin la repré- 

 sentation de diverses lamilles de surfaces par leurs 

 équations en termes finis, ou parcelles aux dérivées par- 

 tielles ; tels sont les exercices consacrés à la Géométrie. 

 L'intérêt de cette partie de l'ouvrage réside non dans 

 les résultats mais dans le style du maître, un style 

 d'une netteté que nos élève; de mathématiques spéciales 

 ne connaissent peut-être plus en dépit de l'étendue de 

 leur programme. 



(Juaut à l'analyse pure, trois courts chapitres lui sont 

 réservés : l'un donne l'expression de la différence finie 

 \"'.c", l'autre celle de la somme finie SSi) ... .('" ; le 

 troisième déduit des pn'cédenls soit les diflérences, 

 soit les intégrales finies des fonctions entières d'une ou 

 de plusieurs variables. 



Les u Exercices » de Physique mathématique peuvent 

 se diviser en deux classes : 1° Exposition des équations 

 fondamentales de la Mécanique des fluides ou des so- 

 lides ; 2° Intégration de ces équations dans des cas 

 relativement simples. 



Cette seconde classe comprend : l'étude des petits 

 mouvements d'une lame solide, celle plus difficile des 

 vibrations d'une plaque solide, d'où Cauchyfait découler 

 les lois des vibrations d'une verge rectangulaire. 



Parmi les résultats je rappellerai particulièrement 

 les beaux théorèmes fournissant une échelle des sons 

 qui peuvent être rendus par une lame élastique dont la 

 fibre moyenne serait successivement courbée en une 

 fraction quelconque de cercle. 



Les « Exercices » de l'autre classe, malgré leur très 

 grande généralité, offrent un intérêt d'un autre genre; 

 ils montrent nettement les deux points de vue sous les- 

 quels on a jusqu'ici envisagé la distribution de la 

 matière dans les corps. Ou bien l'on regarde la matière 

 comme continue, ou bien on la distribue en centres de 

 forces isolées. Le premier point de vue est développé 

 dans deux chapitres; les conditions thermiques imposées, 

 bien qu'artificielles, suffisent cependant pour les appli- 

 cations mentionnées plus haut. Cauchy définit pour les 

 solides l'état naturel et montre qu'il y a lieu de se donner 

 (|uelque relation capable de rattacher les six compo- 

 santes des pressions aux éléments cinémaliques de la 

 didormation. Il suppose d'abord la relation suivante : 



La tension fou pression) exercée contre un l'iément 

 " de surface admet une composante normab^ à cel 

 Il éli'ment, qui est proporlionnelle à la dilatation (ou 

 Il condensation) relalive à celle même direction. » 



Puis il combine ceili' liyiiolhèsc avec celle de la jires- 

 sion normale des fluides. Celle superposition de deux 

 syslèmes de pressions inlrodnil deux coefficients A' et K 

 figurant dans les i'i|ualii>ns ipii giuivernent les comjio- 

 saiilcs : S, -q, Ç, d'un pi'lit di'placi'niciil de la ninli'cule 

 dont les coordonnr'ps carli'sirinics à ri'|ii>i|uo t sont 

 ./■, y, z, et qui, sons une ilmsiti' initiale A, est soumise 



pai' uiiiti' de masse à la foice dont ces composanles 

 soûl X, Y, Z. Si l'on désigne par Q la dilatation cubique 

 de did'orination, c'est-à-dire si l'on ]iose : 



■55 'îr, 



S = — -f — 



cluKiue composante E, r;, Ç, vérilii: 

 forme suivante : 



"il 

 une i-i|uatioii de la 



2A Vtix-i 





i>x 



2A 





Ces équations se réduisent par la supi)osition : 

 k =2K à celles données par Navier (Mémoire de 1821). 



Si au lieu de considérer le corps dont l'élasticité a 

 vW' d(''finie plus haut, on envisage un corps entièrement 



d'.'pouivu d'idasiicili' et si l'on fait : u ;= -r:: /i = consl. 



cluniue équation pn'cédenle 

 antre (elle que celle-ci : 



dt' 

 'st remidacée par une 



Celle-ci dans le cas particulier où X^Y^Z=;Oest 

 pri''cis('ment celle du mouvement de la tenipéi-alure: 

 c'est encore celle qui régit la densité d'un fluide. Ainsi 

 dans deux hypothèses extrêmes où la chaleur serait 

 assimilée soit à un fluide élastique, soit à un corps 

 dénui' d'élasticité on retrouve toujours cette ('•quation 

 fiMiilamenlale : 







{"ix- 



dont les propriétés les plus importantes ont été rigou- 

 reusement établies par M. Poincaré (t'omptes rendus. 

 1888.) 



llans l'hypothèse de la discontinuité, c'est-à-dire celle 

 où l'on considère des points matériels isolés, soumis 

 à leurs attractions ou répulsions mutuelles, l'espèce 

 di' postulatum qui constilue la notion de la pression 

 n'est plus nécessaire. Il suffit pour composer les ac- 

 tions moléculaires de connaître la distribution initiale 

 des masses du système; ce calcul se simplifie dans 

 rétud(! des petits mouvements, et en raison de la [leti- 

 tesse du rayon d'activité moléculaire; ces circonstances 

 permettent, dans le calcul des différences géonn^riiiues 

 des déplacements, c'esl-à-dire dans le calcul des quan- 

 lili's : AS, Aï), AÇ, de s'arrêter aux termes du second 

 ordre, ceux du premier disparaissant fréquemment 

 d'eux-mêmes. Si l'état initial est un état d'équilibre, et 

 si dans cet ('■tat la distribulion des masses (>st symé- 

 trii|nepar rap|iort à chacune d'entre elles (il ne s'agit 

 pas ici drs i'(|nalions aux limiles\ les composantes des 

 actions moli''cnlaires sont des formes linéaires des déri- 

 vi'cs du second ordre des déplacements, considérés 

 comme fractions des coordonnées initiales a, b, c. 



Les 13 coeflicienls de ces formes dépendent de 

 constantes, qui se réduisent à 3, dans le cas parti- 

 culier où la distribution des masses autour de chacune 



